Filosofie en religie

 


   

Berkeley

Berkeley´s filosofie van de wiskunde

 Inleiding 

Als onderwerp van mijn uiteenzetting heb ik George Berkeley gekozen omdat zijn sceptische houding ten opzichte van datgene wat buiten de menselijke waarneming valt, zeker vandaag nog actueel kan zijn. Deze nadruk op het belang van de waarneming is bijvoorbeeld nog steeds relevant voor de filosofische implicaties van de kwantummechanica hoewel Berkeley zelf toch nog een zekere, objectieve werkelijkheid aanhaalt. Ook meen ik dat hij tot de voorlopers mag gerekend worden van recente ontwikkelingen binnen de cognitieve en sociale psychologie, met name het (radicaal) constructivisme. Ik zal hier echter niet te zeer over uitweiden, en zelfs wat zijn, bij het grote publiek bekendere, epistemologie betreft, me beperken tot het strikt noodzakelijke. Helaas kan ik me ook, omwille van mijn matige vorming in de wiskunde, niet te zeer verdiepen in zijn filosofie van de wiskunde. Toch hoop ik met zijn ideeën sommigen onder u, wiskundigen, te mogen inspireren.

 Korte biografie

 Berkeley was een Ierse filosoof die op latere leeftijd bisschop werd. Hij leefde van 1685 tot 1753. Op 16-jarige leeftijd ging hij naar het Trinity College in Dublin, waar hij in contact kwam met het werk “an Essay concerning Human Understanding” van John Lock dat een zeer grote invloed op hem had. In 1707, wanneer hij 24 was, schreef hij zijn eerste grote werk “Essay towards a New Theory of Vision” en een jaar later zijn hoofdwerk “A Treatise Concerning the Principles of Human Knowledge”. Op latere leeftijd vertrok hij naar de Bermuda driehoek om daar een kerk te bouwen en koesterde er de ambitie Amerika te verchristelijken. Uiteindelijk bouwde hij er een boerderijtje en wachtte er op geld voor de kerk. Wanneer hij dat niet bleek te krijgen keerde hij terug, hij is dan 45 jaar oud. En matigde dan sommige van zijn wat radicale overtuigingen uit zijn vroegere periode. 3 jaar later werd hij tot Bisschop van Cloyne benoemd. Op het einde van zijn leven schreef hij enkel nog over de heilzame werking van teer-water en wijdde hier enkele gedichten aan.

 Berkeley’s epistemologie

Wat heeft in feite het meeste realiteit? Dat wat de mens voor zichzelf als werkelijkheid construeert of die werkelijkheid die zijn zintuigen voorafgaat? Het werk van John Locke (1632-1704) toonde aan dat sommige eigenschappen die wij aan de natuur toeschrijven, in werkelijkheid eerder als een mentale constructie kunnen worden begrepen. Dit inzicht werd door George Berkeley geradicaliseerd. Hij beweerde dat alles wat wij waarnemen en kennen, slechts waargenomen en gekend wordt als bewustzijnsfenomeen. Met andere woorden, als we beweren dat een bepaald ding bestaat, dan beweren we niet meer dan dat het in ons bewustzijn 'bestaat'. Of het ook 'echt', in de realiteit voorkomt, daarover kunnen we niets zeggen. Willen voorwerpen of entiteiten in ons bewustzijn 'bestaan', dan moeten we allereerst ervaringen hebben gehad. Berkeley maakt hier dezelfde redenering als Locke, die stelde dat er niets in onze geest kan bestaan dat niet te herleiden valt tot empirische gegevens. Locke maakte daar een onderscheid tussen primaire kwaliteiten (waarnemingen van een externe werkelijkheid die niet door de geest omgevormd worden maar rechtstreeks gekend kunnen worden, zoals beweging, ondoordringbaarheid, aantal en rust) en secundaire kwaliteiten (hier wordt de waarneming door onbekende krachten in onze geest bepaald zoals bij kleur, temperatuur, smaak en klank).

Berkeley tracht echter aan te tonen dat àlle kennis kan worden beschouwd als kennis van secundaire kwaliteiten. Wat dus bij Locke voor kleur en smaak geldt, geldt voor Berkeley ook voor ondoordringbaarheid en beweging. Voor alles geldt dat het bestaat, enkel en alleen als het wordt waargenomen ("esse est percipi") door de geest, daarbuiten bestaan ze niet. Enkel van onze voorstellingen, of 'ideas', kan worden beweerd dat ze werkelijk bestaan. Dat er ook buiten ons bewustzijn een reële wereld bestaat, kan slechts als een geloofsovertuiging worden beschouwd. Deze opvatting staat bekend als het idealisme.

Men kan van mening zijn dat het absurd is om te stellen dat datgene wat wij de werkelijkheid noemen, slechts bestaat tengevolge van waarneming. Niettemin heeft Berkeley de aandacht gevestigd op een belangrijke problematiek, die volgens velen tot op heden niet bevredigend is opgelost. Zo is het onmiskenbaar waar dat wij in staat zijn om bijvoorbeeld een regenboog waar te nemen. Maar het is al even waar dat de regenboog die we zien, niet bestaat in de realiteit. Een regenboog is een voorwerp dat niet kan bestaan zonder dat het wordt waargenomen, bijvoorbeeld door een dier, een mens of een camera. Men kan opwerpen dat dit geldt voor een 'object' zoals een regenboog, maar niet voor een boom, de maan, een huis, enzovoort. De geschiedenis van de wijsbegeerte na Berkeley heeft echter aangetoond dat het verre van eenvoudig is om aan te tonen dat er inderdaad een verschil bestaat in 'objectiviteit' of 'realiteitswaarde' tussen bijvoorbeeld een regenboog enerzijds, en de maan anderzijds.

Nu kan men zich terecht afvragen waar dan wel de ervaringen die we hebben vandaan komen? Als de dingen slechts bestaan als we ze waarnemen, moet er toch iets zijn dat er voor zorgt dat we deze waarneming hebben? Berkeley beweerde dan dat onze waarnemingen  in feite slechts voorstellingen zijn, en dat we deze laatste aan God te danken hebben. Dit gaf hem het argument om te aanvaarden dat de buitenwereld 'bestaat', ook zonder dat hij door mensen wordt waargenomen. God zorgt immers voor het 'bestaan' van de dingen door ze voortdurend, ononderbroken en eeuwig waar te nemen. Met betrekking tot wetenschap, stelde Berkeley dat deze zich bezighoudt met die voorstellingen die regelmatig terugkeren en steeds opnieuw worden geassocieerd met andere voorstellingen. Hij koppelde dit eveneens aan zijn geloof in God, die het mogelijk heeft gemaakt dat alle subjecten een aantal identieke voorstellingen hebben. Dat verklaart dat  iedereen een voorstelling heeft van bijvoorbeeld 'de zon', en dat we over de beweging die de zon maakt wetmatige uitspraken kunnen doen.. 

 
Filosofie van de wiskunde

 Abstract ideas

 Er bestaan dus ook geen abstracte ideeën (zoals Aristoteles en John Locke beweerden), maar alleen ideeën die hun oorsprong hebben in de waarneming. Bij het vormen van abstracte ideeën worden namelijk bepaalde elementen uit het geheel gelicht en beschouwd als los van de rest van het waargenomene; een 'abstract idea' is niets anders dan een idee dat los van het geheel gedacht wordt. Hij voert als voorbeeld aan dat de mens een driehoek niet volledig abstract als de driehoek `op zich' kan voorstellen, maar alleen als die bepaalde driehoek die hij eens heeft waargenomen. Als argument gebruikt Berekeley dat iets wat niet afzonderlijk kan bestaan ook niet afzonderlijk kan worden gedacht. Het abstracte idee kan dus niet los van het geheel gedacht worden; het is onmogelijk om alleen aan het 'blauw' of het 'rood' te denken zonder daarbij aan het object in zijn geheel te denken. Een abstract ideeën zijn dus dingen die niet kunnen bestaan; een abstract idee heeft  geen enkele betekenis of kenniswaarde.

Meetkunde

Zoals we zagen geeft Berkeley het voorbeeld van Locke's abstracte idee 'driehoek', wat een driehoek in het algemeen is. Berkeley stelt dat onder een driehoek in het algemeen zowel gelijkbenig als niet-gelijkbenige driehoeken vallen; ook behoren zowel driehoeken met scherpe hoeken, als driehoeken met stompe hoeken, als driehoeken met rechte hoeken onder de notie 'driehoek in het algemeen'. Er is echter geen driehoek denkbaar die zowel rechte hoeken, stompe hoeken en scherpe hoeken heeft; de notie 'driehoek in het algemeen' bevat dus een contradictie. Ook is het onmogelijk dat een driehoek in het algemeen alleen één van de eigenschappen bezit (dus bijvoorbeeld alleen scherpe hoeken bezit). De 'driehoek in het algemeen' is dus eigenlijk helemaal geen driehoek; het abstracte idee 'driehoek' bestaat niet, ergo abstracte ideeën bestaan niet.

If any man has the faculty of framing in his mind such an idea of a triangle as is here described, it is in vain to pretend to dispute him out of it, nor would I go about it. All I desire is that the reader would fully and certainly inform himself whether he has such an idea or no. And this, methinks, can be no hard task for anyone to perform. What more easy than for anyone to look a little into his own thoughts, and there try whether he has, or can attain to have, an idea that shall correspond with the description that is here given of the general idea of a triangle, which is "neither oblique nor rectangle, equilateral, equicrural nor scalenon, but all and none of these at once?[Introduction van de Priciples, § 13.]

Het moet gezegd worden dat Berkeley doorheen zijn leven niet geheel consequent is geweest i.v.m. de waarneembaarheid van de wiskundige. Toen Berkeley jonger was, waren zijn gedachten over meetkunde zeer verschillend van zijn latere gedachten. Volgens Warnock [WARNOCK, G.J., 1969; p. 207] zou hij zich zelfs niet geheel onverdiend belachelijk gemaakt hebben door te stellen dat meetkunde essentieel om de zintuiglijke wereld te doen was en niet verzoend kon worden met de zuivere wiskunde van de algebra en de rekenkunde. Volgens dezelfde auteur is het duidelijk dat men op die manier al gauw in moeilijkheden komt. Zo moeten we ons bijvoorbeeld slechts de meetkundige definities voorstellen.  Een lijnstuk is een lengte zonder breedte, stelt Euclydes. Berkeley zou deze als fout zien. Want indien we een lijn trekken op eender welke oppervlakte, deze zou nooit zonder breedte bestaan, hoe dun we ze ook trekken. Bestaan er eigenlijk geometrische cirkels?

In zijn latere werk (de Motu) matigd hij de idee dat de meetkunde overeen moet komen met de werkelijkheid en merkt op dat “geometers for the sake of their art make use of many devices which they themselves cannot describe nor find in the nature of things, even so the mechanician makes use of certain abstract and general terms, imagining in bodies and force, action, solicitation, etc. which are of first utility for theories and formulations [...]”. [De Motu, §39]

Zo verwierp hij bijvoorbeeld ook rond 1710, bij het schrijven van zijn Treatise Concerning the principles of Human Knowledge de oneindigheid in de wiskunde terwijl hij in The Analyst deze weer aanvaardt.

Ik zet even twee veelbetekende citaten naast elkaar:

In the principles zegt hij:

Every particular finite extension which may possibly be the object of our thought is an idea existing only in the mind, and consequently each part thereof must be perceived. If, therefore, I cannot perceive innumerable parts in any finite extension that I consider, it is certain they are not contained in it; but, it is evident that I cannot distinguish innumerable parts in any particular line, surface, or solid, which I either perceive by sense, or figure to myself in my mind: wherefore I conclude they are not contained in it.” [principles, § 124]

Tien jaar later in De Motu:

A curve can be considered as consisting of an infinite number of straight lines, though in fact it does not consist of them. That hypothesis is useful in geometry.” [De Motu, § 61]

Hoewel hij dus nog steeds benadrukt dat deze dingen niet bestaan, wil hij wel toegeven dat het nuttig kan zijn.

 Rekenkunde

In de rekenkunde blijft hij echter ongenadig en valt het getal aan, omdat getallen niet waarneembaar, ontastbare en abstracte dingen zijn. We kunnen wel dingen tellen, zoals  schapen bijvoorbeeld, omdat ze dan als een teken verwijzen naar concrete objecten. Maar hij is zich dan ook bewust van het onderscheid tussen de rekenkunde die telt (optrekt, aftrekt, deelt, vermenigvuldigt) en de zuivere wiskunde. In de zuivere wiskunde worden geen concrete dingen meer beschouwd, maar enkel de tekens. Bijvoorbeeld bij de axiomatische wiskunde, waaruit abstracte theorema’s gededuceerd worden. Maar “the reason why we can demonstrate so well about signs is that they are perfectly arbitrary and in our power, made at pleasure”.

 In Arithmetic, therefore, we regard not the things, but the signs, which nevertheless are not regarded for their own sake, but because they direct us how to act with relation to things, and dispose rightly of them. Now, agreeably to what we have before observed of words in general (sect. 19, Introd.) it happens here likewise that abstract ideas are thought to be signified by numeral names or characters, while they do not suggest ideas of particular things to our minds.” [principles, §122]

Wiskunde zou volgens Berkeley dan ook naar concrete dingen moeten verwijzen. Indien niet, is wiskunde even belangrijk als het oplossen van een kruiswoordraadsel “as if a man was all day making hard knots on purpose to unty them again”.  Algebra slaat dan helemaal nergens meer op, want hiervan zegt hij: “algebraic Species or letters are denominations of Denominations”—tekens van tekens dus. Letters die voor nummers staan, en dus dubbel van de menselijke wereld afstaan.

Conclusie

We moeten het ergens met Berkeley eens zijn en begrijpen zijn protest tegen de “high flights” van sommige wiskundigen. Maar anderzijds kan men zich ook afvragen of deze hoge vluchten boven de menselijke werkelijkheid niet gezorgd hebben voor een ‘vooruitgang’ in de wiskunde, of daardoor de wiskunde niet rijker geworden is. In elk geval dringt Berkeley erop aan dat het mythologie is. Take away the signs from Artithmetic and Algebra and pray what remains?