Hieronder staat de transcriptie van constructie II. De transcriptie van constructie III staat op het tweede deel van deze webpagina.
constructie III
I Werckstuck Deel een hoek in twee gelijke hoeken.iv |
Inleiding
Dit is het eerste werkstuk dat Frans van Schooten Junior zijn lezers voorlegde. Doel is om een hoek in twee gelijke, dat wil zeggen twee even grote, hoeken te delen. In de constructie en het bijbehorende bewijs, verwees Van Schooten herhaaldelijk naar het boek "De Elementen" van Euclides. Het lijkt erop dat hij dit werkstuk aangreep om zoveel mogelijk van Euclides te behandelen. In "De Elementen" van Euclides is dit de vierde constructie iv.
Van Schooten gaf op bladzijde 122 de eerste constructie, op deze bladzijde bovenaan een tweede en onderaan een derde constructie,
en op bladzijde 125 een vierde constructie.
De tweede en derde constructie hebben veel gemeenschappelijk.
Op deze webpagina zijn ze apart uitgewerkt, maar in de leerlingen opdracht zijn ze samengevoegd.
Opdracht
Gegeven zijn drie punten A, B en C.
Gevraagd wordt om hoek BAC in twee even grote hoeken te delen.
Frans van Schooten construeerde punt F en bewees dat lijn AF de deellijn van hoek A was.
|
|
topApplet
De applet volgt de constructiestappen.
Bewijs
Frans van Schooten gaf een klassiek meetkundig bewijs dat gebaseerd was op de axioma's, algemene inzichten, definities en proposities van Euclides.
Frans van Schooten bewees eerst dat lijn BD evenwijdig was aan lijn AF.
Hij deed dat met stellingen over "gelijke driehoeken".
Gelijk betekende voor hem "gelijke oppervlakte en gelijke basis".
Zijn woordkeus stemt niet overeen met het huidige taalgebruik in het voortgezet onderwijs.
Het woord "gelijk" wordt nu gebruikt voor "gelijke hoeken, gelijke zijden".
Te bewijzen is dat lijn AF ∠BAC in twee even grote hoeken deelt.
Lijn BD is evenwijdig aan lijn AF omdat:
- ∆DBF even groot is als ∆BED vanwege n het zelfde punt D en even lange basis op zelfde lijn: EB = BF. (oppervlakte driehoek is helft van basis maal hoogte loodrecht)
- ∆BDA is even groot als ∆BED vanwege n het zelfde punt B en even lange basis op zelfde lijn DA = ED.
- en dus omdat ∆BED even groot is als zowel ∆BDF als ∆BDA, zijn ook ∆BDF en ∆BDA even groot met zelfde basis BD.
- en dus o is lijn BD evenwijdig aan lijn AF.
Omdat door de constructie ∆ADB gelijkbenig is (want AB = AD), zijn de basishoeken gelijk: ∠ADB = ∠ABD. Omdat lijn BD evenwijdig is aan lijn AF, zijn p de Z-hoeken ook aan elkaar gelijk: ∠ABD = ∠BAF.
In ∆ADB is ∠DAB + ∠ABD + ∠ADB = 180°.
In punt A is ∠DAB + ∠BAF + ∠FAC = 180°.
Omdat q ∠ADB =
∠ABD = ∠BAF, volgt nu dat ∠BAF = ∠FAC.
Frans van Schooten concludeerde daarom dat lijn AF hoek BAC in twee even grote hoeken deelde.
Daarmee was volgens hem het gevraagde bewezen.
I Werckstuck (Constructie III)
Deel een hoek in twee gelijke hoeken.
Inleiding
Van Schooten presenteerde onderaan op bladzijde 123 een derde oplossing voor het eerste werkstuk: het verdelen van een hoek in twee gelijke, dat wil zeggen, twee even grote hoeken.
Opdracht Anders
Gegeven zijn drie punten A, B en C.
Gevraagd wordt om hoek BAC in twee even grote hoeken te delen.
Frans van Schooten construeerde punt F en bewees dat lijn AF de deellijn van hoek A was.
Applets
De applet volgt de constructiestappen.
Bewijs
Het bewijs is grotendeels gelijk aan het vorige. Frans van Schooten vond twee paar Z-hoeken en maakte daarmee het bewijs rond.
Omdat door de constructie ∆ADB gelijkbenig is (AB=AD), zijn de basishoeken gelijk: ∠ADB = ∠ABD. Omdat ∆AEF een vergroting is van ∆BED met factor 2, daarom zijn de driehoeken gelijkhoekig en dus is lijn BD evenwijdig aan lijn AF. Omdat lijn BD evenwijdig is aan lijn AF, daarom zijn volgens Euclides p de Z-hoeken ook aan elkaar gelijk: ∠ADB = ∠DAF = ∠ABD = ∠BAf. Overstaande hoeken zijn aan elkaar gelijk: ∠DAF = ∠fAC. Hieruit volgt dat ∠DAF = ∠BAf = ∠fAC. Dus zijn de beide hoeken in punt A aan elkaar gelijk. Conclusie is nu dat lijn AF hoek A in twee gelijke hoeken deelt. Lijn AF is dus de bissectrice.
Extra
