De transcriptie begint met de laatste alinea's van de vorige bladzijde (124). De transcriptie van de laatste alinea's van deze bladzijde (125) is doorgeschoven naar webpagina 126.
I Werckstuck Deel een hoek in twee gelijke hoeken.iv |
Inleiding
Dit is het eerste werkstuk dat Frans van Schooten Junior zijn lezers voorlegde. Doel is om een hoek in twee gelijke, dat wil zeggen twee even grote, hoeken te delen. In de constructie en het bijbehorende bewijs, verwees Van Schooten herhaaldelijk naar het boek "De Elementen" van Euclides. Het lijkt erop dat hij dit werkstuk aangreep om zoveel mogelijk van Euclides te behandelen. In "De Elementen" van Euclides is dit de vierde constructie iv.
Van Schooten presenteerde op deze bladzijde zijn vierde constructie voor dit werkstuk.
De eerste constructie staat op bladzijde 122.
De tweede en derde constructie hebben veel gemeenschappelijk. Die staan op bladzijde 123.
bladzijde 122 (I)Opdracht
Gegeven zijn drie punten A, B en C. Gevraagd wordt om hoek BAC in twee even grote hoeken te delen. Frans van Schooten construeerde punt G en bewees dat lijn AG de deellijn van hoek A was.
|
|
topApplet
Bewijs
Frans van Schooten gaf een klassiek meetkundig bewijs dat gebaseerd was op de axioma's, algemene inzichten, definities en proposities van Euclides. Van Schooten combineerde het bewijs voor beide figuren. Voor de leesbaarheid staat hier alleen het bewijs voor de linker (bovenste) figuur.Van Schooten toonde aan dat:
- ∆ABE = ∆AFD
- ∆BDG = ∆FEG
- ∆BAG = ∆FAG
|
|
Gegeven zijn de punten A, B en C en punt D op lijn AB. Voorwaarden zijn dat hoek ABC ≠ 180° en dat AB ≠ AD In de linker figuur is AB < AE en in de rechter is AB > AE. Op lijn AC liggen de punten E en F zodanig dat AB = AF en AD = AE. Punt G is het snijpunt van de lijnen BE en DF. Te bewijzen is dat de lijn AG de hoek BAC in twee even grote hoeken deelt.
In het voorbewijs op bladzijde 124 is vastgesteld dat ∆ABE = ∆AFD en dus dat ∠ABE = ∠AFD.
Omdat ∠ABE + ∠ABG = 180°
en omdat ∠AFD + ∠AFG = 180°
en omdat ∠ABE = ∠AFD (voorbewijs),
daarom b ∠ABG = ∠AFG.
Omdat EF = BD
en omdat ∠FEG = ∠BDG
en omdat ∠EFG = ∠DBG,
daarom g BG = FG.
Omdat BA = AF
en omdat BG = FG
en omdat AG = AG
daarom h ∠BAG = ∠FAG.
Conclusie is dat lijn AG de hoek BAC in twee gelijke hoeken deelt.
Daarmee was volgens Van Schooten het gevraagde bewezen.
