Twee gelijkbenige driehoekenGezocht wordt naar de afmetingen van twee gelijkbenige driehoeken met dezelfde oppervlakte en omtrek. Voorwaarde is dat de lengtes van de zijden gehele getallen zijn. |
Transcriptie
Toelichting
Frans van Schooten begon zijn uitwerking met twee geheeltallige driehoeken.
Voor ∆ABC gebruikte hij de onbekende a en b en voor ∆FGI gebruikte hij d en k.
De omtrekken zijn gelijk: daarom 2(a + b)² = 2(k + d)²,
dus a + b = k + d.
Hij introduceerde de onbekende x
met a + x = k en b − x = d.
Vervolgens maakte hij vergelijkingen voor de inhoud van beide driehoeken, stelde deze aan elkaar gelijk, stelde een vergelijking op nul
en schreef de vergelijking als het produkt van twee factoren.
Op bladzijde 404 schreef hij de oplossing voor x op met de abc-formule.
Omdat x een breuk moest zijn, merkte hij op dat de discriminant een kwadraat moet zijn: a² + 14ab + b².
Hij introduceerde de onbekende c en stelde dat de discriminant gelijk moet zijn aan (a + b + c)².
Vervolgens herschreef hij de vergelijking naar a, koos b = 1 en c = 3 en rekende a en x uit.
Met die getallen rekende hij vervolgens de zijden van de driehoeken ABC en FGI uit.
Voorwaarden
Essentieel is de voorwaarde a > b.
Uit de vergelijking voor a volgt dat 12b − 2c > 0, dus dat c < 6b.
Uit de ongelijkheid a > b volgt ook dat c > 2b.
Daarom: 2b < c < 6b.
De formules voor a en x leveren vaak breuken op.
Een geschikte vergrotingsfactor voor de zijden van de driehoeken is (12b − 2c)².
Alternatief is vergrotingsfactor 4.
Bereken
Bovenaan staat het getallenvoorbeeld van Frans van Schooten.
Uitgerekend worden de zijden bij vergrotingsfactor (12b − 2c)²
en de grootste geheeltallige verkleining.