www.fransvanschooten.nl

De transcriptie omvat de twaalfde afdeling zoals die staat op de bladzijden 403 en 404.

Twee gelijkbenige driehoeken

Gezocht wordt naar de afmetingen van twee gelijkbenige driehoeken met dezelfde oppervlakte en omtrek. Voorwaarde is dat de lengtes van de zijden gehele getallen zijn.

Transcriptie
Toelichting
Getallenvoorbeeld

 


 



top



 


Posters


 


top


Toelichting

Frans van Schooten begon zijn uitwerking met twee geheel­tallige driehoeken. Voor ∆ABC gebruikte hij de onbekende a en b en voor ∆FGI gebruikte hij d en k.
De omtrekken zijn gelijk: daarom 2(a + b)² = 2(k + d)², dus a + b = k + d. Hij introduceerde de onbekende x met a + x = k en b − x = d.
Vervolgens maakte hij vergelijkingen voor de inhoud van beide driehoeken, stelde deze aan elkaar gelijk, stelde een vergelijking op nul en schreef de vergelijking als het produkt van twee factoren.
Op bladzijde 404 schreef hij de oplossing voor x op met de abc-formule. Omdat x een breuk moest zijn, merkte hij op dat de discriminant een kwadraat moet zijn: a² + 14ab + b². Hij introduceerde de onbekende c en stelde dat de discriminant gelijk moet zijn aan (a + b + c)².
Vervolgens herschreef hij de vergelijking naar a, koos b = 1 en c = 3 en rekende a en x uit. Met die getallen rekende hij vervolgens de zijden van de driehoeken ABC en FGI uit.

top


Voorwaarden

Essentieel is de voorwaarde a > b. Uit de vergelijking voor a volgt dat 12b − 2c > 0, dus dat c < 6b. Uit de ongelijkheid a > b volgt ook dat c > 2b. Daarom: 2b < c < 6b.
De formules voor a en x leveren vaak breuken op. Een geschikte vergrotingsfactor voor de zijden van de driehoeken is (12b − 2c)². Alternatief is vergrotingsfactor 4.


top


Bereken

Bovenaan staat het getallenvoorbeeld van Frans van Schooten.
Uitgerekend worden de zijden bij vergrotingsfactor (12b − 2c)² en de grootste geheel­tallige verkleining.

abcxdkfactorABADBDFGFHGH 













2,5130,50,53 292021371235
 
Vul in b en c, bereken de lengte van de zijden van de driehoeken.
                       
               

 

top