Vergelijking van een zevenhoek

Frans van Schooten heeft op bladzijde 436 en 437 twee vergelijkingen van graad 12 gevonden en neemt nu het verschil. Dat leidt tot een vergelijking van graad 10. Op bladzijde had hij, afgeleid van de vergelijking van graad 12, ook een vergelijking van graad 10. Weer neemt hij het verschil. Dat leidt tot een vergelijking van graad 8. Deze vergelijking ontbindt hij in twee factoren. Zo komt hij aan zijn vergelijking van de zevenhoek.

Tabel met vergelijkingen

In de tabel staan vergelijkingen voor een cirkel met straal één. Wanneer van een koorde met lengte q de hoek gedeeld wordt in een aantal gelijke delen, dan is de lengte van de boog van die gedeelde hoek x. Bijzondere waarden van q zijn q = 2, de diameter, en q = 0. Wanneer de hoek behorende bij de diameter als koorde verdeeld wordt in drie gelijke delen, dan is x de zijde van een regelmatige zeshoek. Wanneer de hoek behorende bij q = 0 verdeelt wordt in drie gelijke delen, dan is x de zijde van een regelmatige driehoek.

Andersom kan de vergelijking ook gebruikt worden om bij een cirkel met straal één bij gegeven lengte van de koorde de lengte van de koorde van een veelvoeud van die hoek uit te rekenen.

Ontbrekend zijn de even getallen, met nname de tweedeling.

Viète: Opera Mathematica

In de tabel staan de verhoudingen tussen hypothenusa (de lange zijde), de basis (de aanliggende zijde) en de perpendiculum (de overstaande zijde) van de rechthoekige driehoek waarvan de hoek een veelvoud is van de hoek van de rechthoekige driehoek met lange zijde Z, aanliggende D en overstaande B. Bij Frans van Schooten is x de overstaande B en is q de overstaande van de veelvoud van de hoek. Het blijkt dat de formula van de zijde van de driehoek van het veelvoud van de hoek is opgebouwd uit binomiaalcoëfficiënten. Na substitutie D² = Z² − B² en Z = 2 ontstaan uit de vergelijkingen van Viète de vergelijkingen van Frans van Schooten.

Ook had Frans van Schooten kennis kunnen nemen van dit soort vergelijkingen uit het werk van zijn voorganger aan de Duytsche Mathematicque, Ludolf van Ceulen, waar zijn vader, Frans Senior, mee heeft samengewerkt. Het rekenen aan regelmatige veelhoeken was in die tijd een manier om dichter bij de precieze waarde van het getal pi te komen.

Google Books