www.fransvanschooten.nl

XVIII

Gegeven is driehoek ABC met midden D op zijde AC en voetpunt E van de hoogtelijn uit punt B op zijde AC.

Bewijs dat de som van de kwadraten van AB en AC het dubbele is van de som van de kwadraten van AD, DE en BE

tip

  1.   

    • tip

      Gebruik de stelling van Pythagoras.

antwoord

  1.   

    • antwoord

      Stelling van Pythagoras twee maal uitschrijven:

      AB2 = AE2 + BE2
      BC2 = EC2 + BE2
      AE2 = (AD + DE)2 =  AD2 + 2×AD×DE + DE2
      EC2 = (CD − DE)2 =  CD2 − 2×CD×DE + DE2

      Omdat AD = CD daarom AB2 + BC2 = 2×AD2 + 2×DE2 + 2×BE2

      Dankzij de formulering EC2 = (CD − DE)2 is het bewijs geldig voor alle mogelijke configuraties waarbij hoek C scherper is dan hoek A. Voor het geval dat hoek C stomper is dan hoek A, volstaat een soortgelijk bewijs.

opdracht 17

opdracht 19

 

Frans van Schooten verwijst naar "Pappi Alexandrini", een grieks wiskundige uit de vierde eeuw. Frans van Schooten kende zijn werk uit de vertaling van Federico Commandino.
Pappi Alexandrini
Federico Commandino
naamregister Mathematische Oeffeningen


top