Posters
Over de belangrijkste personen zijn posters gemaakt voor in de klas.
 Posters
Rafaël
Rafaël is een beroemde schilder uit de 16de eeuw, de Renaissance.
In het paleis van de paus in het Vaticaan heeft hij veel fresco's gemaakt, waaronder "de School van Athene".
In de rechterbenedenhoek staat Euclides met een passer afgebeeld.
|
De Elementen Van Euclides
Euclides van Alexandrië was een Grieks wiskundige die leefde 300 jaar voor de jaartelling.
Dat was de Hellinistische tijd.
De stad Alexandrië lag in Egypte aan de Middelandse Zee.
De stad was in 330 voor de jaartelling gesticht door Alexander de Grote.
Het was toen een hoofdstad en een belangrijk centrum van cultuur, kennis en geleerdheid.
Workshops
Sinds 2006 zijn workshops en lezingen verzorgd over allerlei onderwerpen.
Sommige hebben betrekking op Frans van Schooten, maar andere gaan over zonnewijzers en astrolabes en weer andere over algebra of meetkunde.
Hieronder staan de workshop eerst op chronologische volgorde en daarna thematisch opgesomd.
|
Systematisch
Euclides is bekend om zijn systematische behandeling van de meetkunde.
Over zijn leven is weinig bekend.
Schilderijen en beelden zijn artists impressions.
Zijn meesterwerk is "De Elementen", een boek uit dertien delen.
Daarin bouwde Euclides de meetkunde streng en logisch op.
Ieder boek opent met definities.
Vervolgens wordt een logisch bouwwerk opgetrokken van constructies en stellingen
waarvan de bewijzen gebaseerd zijn op die veronderstellingen en op hetgeen daarvoor bewezen is.
De eerste stellingen zijn nogal elementair, maar de laatste zijn beslist niet voor de hand liggend.
Euclides was streng. Niets is waar als het niet eerst is bewezen, of expliciet aangenomen.
Daarom begon hij het eerste boek met een aantal aannames en algemene inzichten.
Daarop fundeerde Euclides zijn meetkunde.
|
Model
De 17de eeuwse mens bewonderde de rationaliteit.
De Elementen hebben eeuwen lang model gestaan voor het meetkunde onderwijs.
Oude leerboeken volgen de opbouw van De Elementen: eerst definities, dan aannames en dan proposities.
Proposities zijn voorstellen die beginnen met de formulering van een probleem en een toelichting daarop.
Daarna komt een oplossing en de demonstratie van het bewijs dat deze oplossing correct is.
Proposities worden afgesloten met een conclusie.
|
Stijl
Ook buiten de wiskunde is deze manier van redeneren overgenomen.
Newton hanteerde dezelfde opbouw in zijn uiteenzetting over de natuurkunde.
De wijsgeer Spinoza bouwde zijn juridische betogen op dezelfde manier op.
Daarom is het een belangrijk westers cultuurdocument.
Na de Bijbel wordt het wel het tweede meest gelezen en vertaalde boek genoemd.
Van Schooten verwijst in zijn boek op iedere pagina vele keren naar de proposities van Euclides.
Daarom zijn op deze webpagina opgesomd alle proposities waar hij naar verwijst.
Onderzocht moet worden welke vertaling(en) Frans van Schooten gebruikt heeft.
Hij zal zeker de vertaling gekend hebben die zijn vader in 1617 uitgegeven heeft.
Op deze website wordt een eigentijdse vertaling gebruikt die zo dicht mogelijk blijft bij de wiskunde taal in het voortgezet onderwijs.
Nederlandstalige bron is de vertaling van Dijksterhuis. Hoewel deze uit 1929 stamt, is het toch de meeste recente vertaling.
Als engelstalige bron is de gezaghebbende vertaling van Heath gebruikt.
|
|
Bronnen
Over Euclides en zijn meetkunde zijn veel boeken geschreven.
Ook op internet is veel informatie te vinden.
bronnen
Vertaling
De meest recente Nederlandse vertaling is uit 1929.
Daarom is hier gekozen voor een eigentijdse vertaling.
|
Definities
Zorgvuldig woordgebruik is belangrijk.
Euclides begint zijn boek met een lange opsomming van definities over bijvoorbeeld wat een punt is en wat een lijn is.
Wij sluiten aan bij de woordkeus in de huidige wiskunde methoden en bij de definities van Dijksterhuis.
- Lijnen zijn rechte lijnen.
- Gelijke lijnen zijn lijnen die door dezelfde punten gaan.
Gelijke lijnen zijn identiek.
- Lijnstukken zijn gedefinieerd als een deel van een lijn tussen twee punten.
Bijzondere lijnstukken zijn de zijden van een driehoek.
De lengte van een lijnstuk is de afstand tussen die twee punten gemeten langs het lijnstuk.
Deze definitie biedt twee mogelijkheden: òf beide punten zijn gegeven en het lijnstuk vloeit er uit voort, òf een punt en het lijnstuk zijn gegeven en het andere punt vloeit er uit voort.
Gelijke lijnstukken zijn lijnstukken die exact even lang zijn.
Lijnstukken zijn even lang als ze identiek zijn, of omdat ze zo geconstrueerd zijn of omdat te bewijzen is dat ze even lang zijn.
Lijnstukken zijn identiek als ze gedefinieerd zijn door dezelfde twee punten.
Lijnstukken zijn even lang als ze als zodanig geconstrueerd zijn.
Van Schooten maakt daar vaak gebruik van. Hij stelt dan dat een punt even ver afligt van een ander punt als twee andere van elkaar afliggen.
- Gelijke hoeken zijn hoeken die even groot zijn omdat ze zodanig zijn geconstrueerd
of omdat bewezen kan worden dat ze even groot zijn.
- Identieke driehoeken zijn driehoeken waarvan de hoekpunten op dezelfde plaats liggen.
Identieke driehoeken liggen precies op elkaar.
- Gelijkvormige driehoeken zijn een vergroting van elkaar: beide driehoeken hebben gelijke hoeken
(overeenkomstige hoeken die even groot zijn) en zijden die naar verhouding even groot zijn.
Synoniem: gelijkhoekige driehoeken
- Congruente driehoeken zijn driehoeken met gelijke hoeken en gelijke zijden.
Congruente driehoeken zijn driehoeken die ten opzichte van elkaar gedraaid, verplaatst of gespiegeld zijn.
Het zijn gelijkvormige driehoeken met vergrotingsfactor één.
Omdat het begrip congruentie niet geleerd wordt in de onderbouw, noemen we ze ook wel gelijke driehoeken.
- Even grote driehoeken zijn driehoeken met een even grote oppervlakte.
Van Schooten volgt Euclides door dit gelijke driehoeken te noemen.
Op dit punt wijkt deze website af van die traditie en reserveert het woord gelijke driehoeken voor congruente driehoeken.
Argument is dat in de onderbouw het concept van gelijkvormigheid meer de nadruk krijgt en het concept van gelijke oppervlakte minder.
top
Hoeken
 |
In de schets hiernaast staan de hoeken A tot en met H die horen bij twee evenwijdige lijnen die door een derde lijn gesneden zijn.
De hoeken ∠A, ∠D, ∠F en ∠G zijn buitenhoeken
en de hoeken ∠B, ∠C, ∠E en ∠H zijn binnenhoeken.
De hoeken ∠A en ∠E zijn overeenkomstige hoeken,
net als ∠B en ∠F overeenkomstige hoeken zijn en ook ∠C en ∠G zijn overeenkomstig
en ∠D en ∠H ook.
Bijbehorende hoeken worden als volgt genoemd.
De hoeken ∠A en ∠C zijn de nevenhoeken van ∠B
en ∠D is een overstaande hoek van ∠B.
Hoek ∠A is een verwisselende buitenhoek van ∠G
en hoek ∠H is een verwisselende binnenhoek van ∠B.
|
|
|
In ∆ABC is ∠A de hoek die ingesloten is door zijde AB en zijde AC.
Hoek A heet daarom de ingesloten hoek.
Hoek B heet de binnenhoek en hoek B' heet de buitenhoek.
|
Axioma's
Vertaling
De meest recente Nederlandse vertaling is uit 1929.
Daarom is hier gekozen voor een eigentijdse vertaling.
Andere Vertalingen
Als de muis boven een axioma komt,
verschijnen de vertalingen van Frans van Schooten Senior (17de eeuws), Dijksterhuis (1929) en Heath (Engels).
Axioma's zijn aannames.
In de wiskunde worden ze met een mooi woord postulaten genoemd.
Het zijn zaken die zelf niet te bewijzen zijn, niet vanzelfsprekend zijn en toch essentieel in de logische opbouw van stellingen en bewijzen.
In het platte vlak lijken het open deuren, maar creatieve wiskundigen hebben laten zien dat je met andere axioma's tot
heel fascinerende resultaten komt. Dat is de niet-euclidische meetkunde.
Van Schooten verwijst regelmatig naar de eerste drie axioma's en één keer naar de vijfde.
Deze drie staan hieronder.
De derde aanname van Euclides gaat over cirkels,
maar van Schooten wil in zijn tweede boek geen cirkels gebruiken.
Daarom is deze aanname voor deze website niet relevant.
Algemene Inzichten
Vertaling
De meest recente Nederlandse vertaling is uit 1929.
Daarom is hier gekozen voor een eigentijdse vertaling.
Andere Vertalingen
Als de muis boven een algemene inzicht komt,
verschijnen de vertalingen van Frans van Schooten Senior (17de eeuws), Dijksterhuis (1929) en Heath (Engels).
Frans van Schooten Junior gebruikte het woord "Gemene Bekentenis".
Tegenwoordig wordt het woord "Algemene Inzichten" gebruikt.
Zijn vader, Frans van Schooten Senior, noemde het "Gemeene Bekentenissen",
maar, verwarrend genoeg, in het Latijn "Axiomata".
Het zijn vanzelfsprekendheden die Euclides nodig heeft om de juistheid van beweringen te kunnen bewijzen.
In de moderne literatuur zijn er vijf "algemene inzichten", maar in de 17de
eeuw waren er twaalf.
Het verschil is dat toen gebruik gemaakt werd van Griekse manuscripten uit de 4de eeuw.
Die zijn veel uitvoeriger en uitgebreider dan een ouder manuscript dat in 1810 is gevonden.
Tegenwoordig volstaan er vijf,
maar de nummering (i,ii,iii,vii en viii) is gebleven.
Constructies
Vertaling
De meest recente Nederlandse vertaling is uit 1929.
Daarom is hier gekozen voor een eigentijdse vertaling.
Andere Vertalingen
Als de muis boven een propositie komt,
verschijnen de vertalingen van Frans van Schooten Senior (17de eeuws), Dijksterhuis (1929) en Heath (Engels).
Na de definities, aannames en algemene inzichten komen de proposities.
Dat zijn enerzijds "constructies" en anderzijds "stellingen".
Van Schooten noemt de constructies "werkstukken".
Ze zijn door hem apart genummerd. Eerst komt de lijst van constructies, zoals genummerd door Frans van Schooten.
Daarna komt de lijst met proposities, zoals genummerd door Euclides.
top
Proposities
Vertaling
De meest recente Nederlandse vertaling is uit 1929.
Daarom is hier gekozen voor een eigentijdse vertaling.
Andere Vertalingen
Als de muis boven een propositie komt,
verschijnen de vertalingen van Frans van Schooten Senior (17de eeuws), Dijksterhuis (1929) en Heath (Engels).
Van Schooten verwijst uitvoerig naar de proposities van Euclides.
Daarom is in deze bijlage een opsomming opgenomen van alleen die proposities waar hij naar verwijst.
Soms lijkt het erop dat hij de rijkdom van Euclides wil etaleren,
want om didactische redenen bewandelt hij niet altijd de kortste weg.
Voor de leerlingen opgaven kunnen we met minder proposities volstaan, of met andere.
Deze zijn met het symbool → gemarkeerd.
Proposities Boek 1
Van Schooten verwijst veelvuldig naar Boek 1.
48
49
50
51
52
53
54
44
56
57
58
59
60
61
62
Proposities Boek 2
Vertaling
De meest recente Nederlandse vertaling is uit 1929.
Daarom is hier gekozen voor een eigentijdse vertaling.
Andere Vertalingen
Als de muis boven een propositie komt,
verschijnen de vertalingen van Frans van Schooten Senior (17de eeuws), Dijksterhuis (1929) en Heath (Engels).
Dijksterhuis
Dijksterhuis benadrukt het algebraïsche aspect van dit tweede boek
en waarschuwt ervoor dat we onze moderne algebrïsche manier van werken niet mogen projecteren op de Griekse tijd.
Het is duidelijk, dat in deze tien proposities zekere algebraische
identiteiten in meetkundigen vorm staan uitgedrukt. Denken
we ons namelijk de grootten der beschouwde lijnstukken
en oppervlakken d or positieve reëele getallen voorgesteld, dan
kunnen de proposities II, 1-10 in moderne schrijfwijze als
volgt worden weergegeven.
Het blijkt dus, dat het gebruik van lijnstukken en oppervlakken
de Grieken in staat stelt om, niettegenstaande hun
beperkt getalbegrip en hun gemis aan een algebra, grootheden
te behandelen, die wij door positieve reëele getallen weergeven
en waartusschen wij langs algebraischen weg betrekkingen
vinden. De toegepaste methode wordt in navolging van Zeuthen
thans algemeen met den naam van geometrische algebra bestempeld.
Van Schooten verwijst in zijn boek op iedere pagina vele keren naar de proposities van Euclides.
Daarom is in deze bijlage een opsomming opgenomen van alleen die proposities waar hij naar verwijst.
Proposities Boek 3
Van Schooten verwijst in zijn boek op iedere pagina vele keren naar de proposities van Euclides.
Daarom is in deze bijlage een opsomming opgenomen van alleen die proposities waar hij naar verwijst.
Proposities Boek 4
Het vierde boek gaat over driehoeken, veelhoeken en ingeschreven en omgeschreven cirkels.
Proposities Boek 5
Vertaling
De meest recente Nederlandse vertaling is uit 1929.
Daarom is hier gekozen voor een eigentijdse vertaling.
Andere Vertalingen
Als de muis boven een propositie komt,
verschijnen de vertalingen van Frans van Schooten Senior (17de eeuws), Dijksterhuis (1929) en Heath (Engels).
Van Schooten verwijst in zijn boek op iedere pagina vele keren naar de proposities van Euclides.
Daarom is in deze bijlage een opsomming opgenomen van alleen die proposities waar hij naar verwijst.
Het vijfde boek wordt de "reden-theorie" genoemd.
Het gaat over "grootheden" en over "verhoudingen".
In de moderne notatie wordt het : teken gebruikt,
maar daar wordt niet de deling als rekenkundige bewerking mee bedoeld.
Voor de duidelijkheid worden eerst enkele definities gegeven:
De originele formulering van Dijksterhuis en Heath verschijnen als de muis over de betreffende regel beweegt.
Na de omschrijving volgt vaak een moderne algebraïsche notatie.
Van Schooten verwijst naar de volgende proposities:
Proposities Boek 6
Vertaling
De meest recente Nederlandse vertaling is uit 1929.
Daarom is hier gekozen voor een eigentijdse vertaling.
Andere Vertalingen
Als de muis boven een propositie komt,
verschijnen de vertalingen van Frans van Schooten Senior (17de eeuws), Dijksterhuis (1929) en Heath (Engels).
Van Schooten verwijst in zijn boek op iedere pagina vele keren naar de proposities van Euclides.
Daarom is in deze bijlage een opsomming opgenomen van alleen die proposities waar hij naar verwijst.
Het zesde boek gaat over meetkundige toepassingen van de redentheorie.
Voor de duidelijkheid worden eerst enkele definities gegeven:
Van Schooten verwijst naar de volgende proposities:
Proposities Boek 10
Proposities Boek 11
Proposities Boek 12
Vertaling
De meest recente Nederlandse vertaling is uit 1929.
Daarom is hier gekozen voor een eigentijdse vertaling.
Andere Vertalingen
Als de muis boven een propositie komt,
verschijnen de vertalingen van Frans van Schooten Senior (17de eeuws), Dijksterhuis (1929) en Heath (Engels).
Van Schooten verwijst naar de volgende proposities:
De volgende boeken en bronnen op internet zijn gebruikt voor deze webpagina.
-
De Elementen van Euclides, E.J. Dijksterhuis, 1929, Noordhoff, Groningen,
de meest recente volledige Nederlandse vertaling is helaas niet digitaal beschikbaar.
-
Perseus: Euclid, Elements (ed. Thomas L. Heath),
de toonaangevende Engelstalige vertaling is digitaal beschikbaar gesteld door de Perseus.
-
Wikipedia: Euclides, Alexander de Grote, Alexandrië ,
de bekende internet encyclopedie waar iedereen zijn bijdrage aan kan leveren.
Daardoor is betrouwbaarheid niet gegarandeerd.
-
D. Klingens: Meetkunde in applets ,
een Nederlandse website met een schat aan meetkundige informatie.
-
D. Joyce: Euclides by applets ,
Amerikaanse website met uitleg en animaties.
-
www.wiskundecanon.nl : Euclides, helemaal in zijn element,
een project van het mathematisch Instituut van de Universiteit Utrecht
-
Frans van Schooten Junior: Mathematische Oeffeningen
De Universiteit Utrecht heeft dit boek gedigitaliseerd en opgenomen in de "digitale bijzondere collecties"
De bladzijden staan er als afbeelding zonder enige toelichting of vertaling.
-
Frans van Schooten Senior: De propositien van de XV Boucken der Elementen Euclidis
De bladzijden staan er als afbeelding met de transcriptie.
Andere pagina's op deze website zijn:
.