Artikel-2: De helling van de Ecliptica met formules

                          Astrologische Artikelen door J. Ligteneigen               

 

 

Home

 

Contact mail

 

 

 

 

 

 

 

 

Home > Artikelen > Artikel-2

Oplossing vraag uit Artikel-1.

We zijn deel-1 min of meer geŽindigd met het feit dat er in de IAU (1976) System of Astronomical Constants een nieuwe Epoch is gedefinieerd met de aanduiding J2000.0 en die begint op 1 januari 2000 om 12h ET.

De formule voor de berekening van JD, zoals die in de vorige aflevering is gegeven, was gebaseerd op UT. Maar de formule geldt evenzeer voor tijden in ET. U vervangt UT in de formule door ET en u krijgt een juist resultaat.

Y=2000; M=1; D=1; ET=12.00.00

M=1, dus volgens stap(2):

m = M+12 = 13; y = Y-1 = 1999

ET / 24 = 0,50.

De datum is groter dan 15.10.1582, dus:

B=INT(y/400) - INT(y/100)= 4 - 19=-15

Het jaartal y is groter dan nul, dus C=0.

INT(365,25*y - C) = 730134

INT(30,6001*{m+1}) = 428

 

JD is nu : 730134 + 428 - 15 + 1720996,5 + 1 + 0,5 = 2451545,0

 

De Juliaanse Eeuw wordt berekend middels : T = (JD-2415020)/36525

 

T is dus : (2451545,0 - 2415020)/36525 = 1,0

Berekend t.o.v. de Epoch J1900.0 heeft T dus de waarde 1,0.

Aangezien J2000.0 als nieuwe epoch is aangewezen, moet ook de formule van de Juliaanse Eeuw gebaseerd worden op de nieuwe epoch. De formule van T wordt dan :  

T = (JD - 2451545) / 36525

(Epoch J2000.0)


Als u nu T opnieuw uitrekent, dan krijgt u de waarde 0,0.

Het is dus wel goed opletten op welke epoch T is gebaseerd. Bij elke nieuwe formule, waarin "T" voorkomt, zal ik dan ook aangeven op basis van welke epoch die gebaseerd is.

ET of UT gebruiken in formules?

Het is voor de bepaling van de Zon, Maan en planeten, de Ecliptica en de Draconis standaard om ET te gebruiken.

ET staat voor Efemeriden Tijd (Ephemeris Time) en is de ideale onafhankelijke tijdsmaat voor de berekening van de posities van de hemellichamen.

Zoals u wellicht weet, verschilt ET van de UT (de oude benaming was GMT, maar dit wordt eigenlijk niet meer gebezigd). Doordat de draaiing van de Aarde om zijn eigen as een voortdurende en onvoorspelbare vertraging oploopt (door getijdenbewegingen van zeeŽn en oceanen, vulkaanuitbarstingen en allerlei andere optredende gebeurtenissen), is UT geen goede tijdsmaat.

Alleen voor de theoretische berekening van de Sterretijd (Sidereal Time) dient uitgegaan te worden van de UT. Dit is ook in de astronomie gebruikelijk.

In een apart artikel over TIJD en tijdsrekening zal ik u hier alles over duidelijk maken.

 

Als u nu al meer wilt weten over het verschil tussen ET en UT/GMT, dan dient u Sagittarius 1983-nr.4 te raadplegen. Theo van Berkel heeft een erg goed stuk geschreven over de toepassing van ET en GMT bij het gebruik van een efemeride.

In Sagittarius 1985-nr.5 vindt u ook nog aanvullende informatie.

 

============================     De ecliptica.     ==================================

 

De Aarde draait om zijn as in bijna 24 uur. Echter deze as staat niet 'recht', maar staat schuin ten opzichte van de baan, die de Aarde bezet in zijn beweging om de Zon. Doordat deze hoek bestaat, is er sprake van seizoenen, zoals schematisch in Fig. 1 is aangegeven. Was deze hoek er niet, dan waren er ook geen seizoenen mogelijk.

In Fig. 1 is de baan van de Aarde om de Zon heen sterk overdreven elliptisch getekend. In werkelijkheid is de baan vrijwel cirkelvormig, maar formeel is het een ellips. Alle planeten, die om de Zon draaien, doen dit in een ellipsvormige baan. De baan van Mercurius bijv. is wel sterk elliptisch en komt nog het meest overeen met Fig. 1.

Merk op dat de schuine as altijd dezelfde kant op wijst, waar de Aarde zich ook bevindt in zijn baan om de Zon.

Het interessante is dat in de zomerperiode de Aarde eigenlijk het verst verwijderd is van de Zon. Doordat de schuine as in de zomer naar de Zon toe gericht is, bereiken de zonnestralen voornamelijk het noordelijk halfrond van de Aarde en daar is het dan het warmst.

In de winter bevindt de Aarde zich ook het verst weg van de Zon, maar doordat de schuine as van het zuidelijk halfrond naar de Zon toe is gekeerd, bereiken de zonnestralen nu voornamelijk het zuidelijk deel van de Aarde en het is juist daar zomer, terwijl het bij 'ons' winter is.

In de lente en herfst bevindt de Aarde zich het dichtst bij Zon. De aardas is nu niet naar de Zon toe gericht en de zonnestralen bereiken zowel het noordelijk- als het zuidelijk halfrond min of meer even veel.

Het verschil in afstand tussen lente/herfst en zomer/winter tussen Aarde en Zon bedraagt al gauw zo'n ruime 5 miljoen kilometer.

Hoe wordt de schuine hoek bepaald?

U heeft zich wellicht al eens afgevraagd hoe nu eigenlijk de eclipticahoek wordt gemeten. In atlassen en informatieve boekjes staat veelal dat deze hoek ongeveer 23o26' bedraagt.

Al voor het einde van het tweede millennium voor Christus deden de BabyloniŽrs en de Egyptenaren al metingen aan de Zon. Hiervoor maakten zij gebruik van een lange stok, de zgn. gnomon.

Zo'n gnomon was bijv. 1 meter hoog. Door nu op het langste dag van het jaar de schaduw te meten, die de gnomon op de vlakke grond afbeeldt, kan de ecliptica gemeten worden.

Hiervoor moest men nog een gegeven weten, nl. de breedte van de plaats van waarneming.

Zo mat de Griekse geleerde Erathostenes (276 v.C - 195 v.C.) de ecliptica op twee plaatsen, nl. AlexandriŽ en Syene (het moderne Aswan in het Zuiden van Egypte).

Precies op de dag van het zomersolstitium stond de Zon pal in het Zenit. De ecliptica werd berekend als: Breedte plaats van waarneming minus Zenitafstand van de Zon.

Voor Syene had Erathostenes de breedte bepaald op 23o51'20" NB. Omdat de Zenitafstand nul was (de Zon stond pal boven zijn hoofd), was de ecliptica ook gelijk aan 23o51'20".

Voor AlexandriŽ zei hij dat de Zenitafstand 1/50-ste deel van een cirkel was (is gelijk aan 7o12').

Omdat Erathostenes dacht dat AlexandriŽ precies ten Noorden van Syene lag, beredeneerde hij dat de afstand van Syene tot AlexandriŽ gelijk was aan 1/50-ste deel van de omtrek van de Aarde. De afstand Syene-AlexandriŽ was destijds op 5000 'stades' bepaald. De omtrek van de Aarde moest dan 50 x 5000 = 25.000 'stades' zijn. De lengte van een 'stade' is eigenlijk onbekend en ook de waarneming 1/50-ste deel van een cirkel is waarschijnlijk afgerond. Niettemin is het interessant om te weten dat de eerste waarnemingen van Erathostenes, waarvan cijfermateriaal bekend is geworden, als een der eersten de omtrek van de Aarde bepaalde.

 

Ook heeft Erathostenes een fout gemaakt in zijn waarnemingen. Zo ligt Syene (ofwel Aswan) niet op 23o51'20", maar op 24004'38" NB. AlexandriŽ ligt op 31o11'10" NB waar Erathostenes uitging van 30o58' NB. Ondanks de fouten waren de waarnemingen bijzonder nauwkeurig, zoals we later zullen narekenen. De eclipticahoek volgens de formule (die later volgt) was in die tijd : 23o43'35". Erathostenes zat er dus 'maar' een kleine 8 boogminuten naast!

De meeste waarnemingen van de ecliptica in de oudheid werden door de Chinezen gedaan, maar ook de Arabieren waren meesters in de waarneming en wiskundige berekeningen.

In onderstaande tabel ziet u enige waarnemingen uit deze oudheid.

Ook zijn een paar recentere waarnemingen toegevoegd.

Het is van het allergrootste belang geweest dat deze waarnemingen zijn vastgelegd. Mede hierdoor zijn de lange-termijn-bewegingen van de ecliptica bepaald en dit voor grote waarde voor een aantal toepassingen, zoals efemeriden, astro-archeologie, paleoklimatisch onderzoek, etc.

 

 

epoch

bron

T

ecliptica

-1100

Chou Li

-30.0

23.881

-350

Pytheas

-22.5

23.819

-250

Erathostenes

-21.5

23.856

-150

Hipparchos

-20.5

23.858

-114

Greece

-20.1397

23.7183

-30

Liu Hsiang

-19.2997

23.745

89

Chia Khuei

-18.1097

23.66

173

Liu Hung & T. Yung

-17.2697

23.837

173

Liu Hung & T. Yung

-17.2697

23.689

178

Liu Hung & T. Yung

-17.2197

23.631

450

Tsu Chhung-Chih

-14.4997

23.636

630

Li Shun-FÍng

-12.6997

23.661

1587

Tycho Brahe

-3.1297

23.5067

1690

Flamsteed

-2.0999

23.4835

1800

Bessel

-1.00000

23.465222

1850

Leverrier

-0.50000

23.458842

1900

------

0.00000

23.452174

Door deze supernauwkeurige waarnemingen is het mogelijk geworden dat de hellingshoek van de ecliptica tot op 0,001 boogseconde nauwkeurig berekend kan worden.

De formule voor de Ecliptica

De formule voor de hellingshoek van de ecliptica, die al ettelijke decennia in gebruik is, luidt als volgt :

E =    23.452294o

    - 0.0130125o T

       - 1.64o.10-6 T2

       + 5.03o.10-7 T3

 Epoch is : J1900


Waar u "T" ziet staan, vermenigvuldigt u het getal dat ervoor staat met T.

Waar T2 staat, vermenigvuldigt u het getal dat ervoor staat met TxT (ofwel T-kwadraat).

Waar T3  staat, vermenigvuldigt u het getal dat ervoor staat met TxTxT (ofwel T tot de derde macht).

 

1,64o.10-6 betekent 1,64 met 6 nullen ervoor, dus : 0,000 000 164.

Let u vervolgens goed op alle plusjes en minnetjes.

 

Als we bijvoorbeeld de ecliptica uitrekenen voor de Epoch zelf, dus 31 dec. 1899 om 12h UT, waarvoor geldt dat T gelijk is aan nul, dan is de ecliptica dus 23.452294o = 23o27'08,258".

 

In de tijd van Erathostenes (het jaar -250 ongeveer), is T gelijk aan -21,5.

T2 is dan 462,25 en T3 is : -9938,375.

De ecliptica in zijn tijd was derhalve:

23,452294 + 0,279768 - 0,000758 - 0,004999 = 23,726305 = 23o43'35".

 

Controleert u dit nog even met de tekst van de vorige bladzijde en merk op hoe nauwkeurig voor die tijd er te werk is gegaan door de oude meesters.

 

In de gegeven formule voor de ecliptica ziet u de wiskundige term -0,0130125o T staan. Die staat voor de lineaire  afname (het minteken) per Juliaanse Eeuw van de ecliptica. Met andere woorden: de hellingshoek wordt ieder jaar kleiner en het tempo ervan komt overeen met 46,845" per Juliaanse Eeuw. Dat is niet erg veel, maar in de loop van honderden jaren wordt deze afname toch betekenisvol. Met name voor onderzoekers op paleontologisch gebied is dit van belang, want de verandering van het klimaat houdt verband met deze hellingshoek. Zoals u in Fig. 1 kunt zien, is de hoeveelheid warmte die het noordelijk- of zuidelijk halfrond ontvangt, afhankelijk van de ashelling.

Het optreden van ijstijden, verdwijnen of verschijnen van diersoorten is hieraan gerelateerd.

 

Geldigheid van de formule

 

De formule voor de ecliptica dient echter niet voor onbepaalde tijd toegepast te worden. Veilige grenzen zijn T= - 100 tot +100, ofwel een tijdvak van ca. 10.000 jaar vůůr en nŠ J1900.

Hierbuiten komen er grote afwijkingen. Zo is bijv. bekend dat in het jaar 47.000 v.Chr. (T=-489) de ecliptica ca. 24,4o was. Gaat u de formule klakkeloos toepassen, dan komt u uit op min 29,34 en dat is onmogelijk, want de hellingshoek kan niet negatief worden.

 

In onderstaande Fig. 2 ziet u het verloop van de ecliptica in de periode T=-100 tot T=100. De nieuwe Epoch J2000 is als een verticale lijn ingetekend.

 


U kunt uit de grafiek (de formule is in een spreadsheet ingevoerd) al een beetje zien dat de daling van de eclipticahoek niet permanent doorloopt. Hij vlakt af en de ecliptica wordt niet kleiner dan 22,5 graden. Ook het maximum zal niet hoger worden dan zo'n 24,5 graden.

 

Een formule voor oudheidkundig onderzoek.

 

Uit het grote aantal waarnemingen uit de oudheid en ook uit de gigantische hoeveelheid waarnemingen in deze eeuw, is door Wittman4 een formule samengesteld, die:

(1) de meest nauwkeurige waarnemingen na 1700 in zich herbergt;

(2) nauwkeurig is voor waarden van T>= +100 en T<=-100;

(3) het cyclisch patroon van ongeveer 410 eeuwen volgt.

 

Wittmann komt met de volgende formule, gebaseerd op epoch J1900:

 

Hierbij hebben  de volgende waarden:

 

 

Ik zal u een rekenvoorbeeld geven.

Op de epoch J1900 is T gelijk aan nul.

T+ 3,40.

sinus (0,052088 radialen) = 0,05206445

0,86 maal 0,05206445 = 0,044775

23,496932 - 0,044775 = 23,452157

De ecliptica is derhalve 23o27'07,764"

 

 

Deze formule is ALLEEN voor historische doeleinden te gebruiken. Voor onze precisieberekeningen hanteert u de eerder gegeven formule.

Hieronder ziet u wat het effect is van de historische formule op de ecliptica voor een periode van T=-1000 tot T=+1000, ofwel een periode van 200.00 jaar!


De invloed van de ecliptica op de horoskoophuizen.

De eclipticawaarde heeft invloed op de berekening van alle huizen van de horoskoop. Wij zullen de cusp van het MC gaan uitrekenen voor een Sterretijd van 3 uur precies voor een ecliptica van jet jaar 1950 en 2000 resp.

Aan de hand van de precisieformule voor de ecliptica berekenen wij de beide ecliptica's.

EC(1950) = 23o26' 44,835"

EC(2000) = 23o26' 21,409"

 

Het MC wordt als volgt berekend :

 

tan(MC) = tan(RKMC) / cos(EC)

 

Het MC voor 1950:

De Sterretijd is 3 uur, dus RKMC is gelijk aan 3 x 15 = 45 graden.

tan(RKMC) = tangens(45) = 1.

cos(EC) = 0,917 436 9

1 / cos(EC) = 1,089 993 2

dit terugrekenen als tangens geeft :

MC = 47,465 579 8 = 17o27' 56" Stier.

 

Het MC voor 2000:

RKMC is weer 45 graden.

tan(RKMC) is weer 1

cos(EC) = 0, 917 482 1

1 / cos(EC) = 1,089 939 5

dit terugrekenen als tangens geeft:

MC = 47,464 174 1 = 17o27' 51" Stier.

 

U ziet dat dit een klein verschil geeft in de positie van het MC, maar dit geldt ook voor alle andere horoskoophuizen.

 

Doordat ik een belangrijk astronomisch verschijnsel, nl. de nutatie nog niet heb besproken, is de helling van de ecliptica niet helemaal perfect. Invloeden van Zon, Maan en planeten geven elk nog een kleine 'duw' en 'trek' aan de aardas, zodat voor de ecliptica nog een maximaal verschil van zo'n 10 boogseconden te verwachten is.

Het onderwerp nutatie is een afzonderlijk artikel waard, want het beÔnvloedt ook de lengte van Zon, Maan, Draconis en ook de ST-berekening is hiervan afhankelijk. Zonder de effecten van de nutatie mee te nemen, zal elke berekening van de hemellichamen afwijkingen vertonen.

Door deze nutatie kan het verschil in de huizenpositie nog eens een keer met 3" toenemen, dus een totaalverschil van 8" veroorzaken en dat is toch wel de moeite waard.

De berekening van het MC heb ik nogal summier opgesteld. Als u hierover meer wilt lezen, dan kan ik u aanraden om Sagittarius 1980-nr.10 door te nemen. Hierin wordt de theoretische berekening van de Placidus-huizen besproken.

 

De invloed van de ecliptica op de declinaties van de horoskoophuizen.

 

De declinaties van de huizen, Draconis, Pars Fortuna en Zon kunt u bepalen aan de hand van speciaal opgestelde declinatietabellen, maar u kunt ze ook zelf berekenen. De genoemde objecten hebben allemaal gemeen dat ze geen breedte hebben. Daardoor kan de formule sterk vereenvoudigd worden. De formule voor de declinatie luidt :

 

sin(decl) = sin(lengte) x sin(EC)

 

Declinatie voor het MC van 1950:

Lengte MC = 47,465 579 8.

sin(lengte) = 0,736 871 3   [1]

sin(EC1950) = 0,397 881 1   [2]

sin(decl) = [1] x [2] = 0,293 187 2

Dit terugrekenen als sinus geeft:

Decl. MC = 17,048 867 = 17o02'56" N.

 

Declinatie voor het MC van 2000:

Lengte MC = 47,464 174 1.

sin(lengte) = 0,736 854 7   [1]

sin(EC2000) = 0,397 776 9   [2]

sin(decl) = [1] x [2] = 0,293 103 8

Dit terugrekenen als sinus geeft:

Decl. MC = 17,043 870 = 17o02' 38" N.

 

U ziet zelf dat het verschil tussen beide declinaties zo'n 18" bedraagt. Dit kan eventueel ook weer meer worden als u de nutatie in de ecliptica zou verwerken.

 

 

De allerlaatste ontwikkelingen.

 

Zoals ik in de eerste aflevering al schreef, zijn naar aanleiding van de (1976) System of Astronomical Constants nieuwe massa's voor de planeten bepaald. Dit naar aanleiding van de meest recente observaties van de laatste 20 jaar. Deze nieuwe massa's hebben ook weer gevolgen gehad voor de ecliptica formule.

Als u de oude formule nog even gebruikt en uitrekent wat de ecliptica zal zijn voor J2000.0 (T=1), dan komt u uit op :

EC = 23o26' 21,409".

 

Door de nieuwe constanten en massa's is de ecliptica voor J2000.0 officieel vastgesteld op: 23o26' 21,448".

 

Het blijkt nl. dat de eerder bepaalde afname per Juliaanse Eeuw van 46,845" in werkelijkheid iets minder is.

Een nieuwe formule is uitgewerkt,, die zowel tegemoet komt aan de ecliptica van 23o26' 21,448" op J2000 als aan de eclipticawaarde van 23o27' 08,2584" op J1900.

De meest recente formule voor de ecliptica n.a.v. de (1976) System of Astronomical Constants luidt volgens Lieske7 (epoch J2000.0):

 

EC =   23o26' 21,448"

       - 46,815" T

       - 0,00059" T2      

       + 0,001813".T3

 

 

De ecliptica voor de epoch J2000 is uiteraard 23o26' 21,448". Rekent u de ecliptica uit voor de oude epoch J1900, (dus T=-1 bezien vanuit de nieuwe standaard-epoch J2000), dan krijgt u : EC = 23o26' 21,448" + 46,815" - 0,00059" + 0,001813" = 23o27' 8,2605"

 

Het verschil tussen de berekende waarde van 8,2605" voor J1900 en de vastgestelde waarde 8,2584" door Newcomb in 1900 bedraagt slechts 0,0021" en wij zullen ons hiermee tevreden moeten stellen.

De volgende keer behandelen wij de berekening van de Draconis.

 

Literatuur:

 

i.       Th. v. Berkel, Sagittarius (1983), 4, 26-27;

ii.      Th. v. Berkel, Sagittarius (1985), 5, 38;

iii.    R.R. Newton, "The Authenticity of Ptolemy's Parallax Data", Quart. J. Astr. Soc. (1973), 14, 367-388;

iv.    A. Wittmann, "The Obliquity of the Ecliptic", Astron. Astrophys. (1979), 73, 129-131;

v.     Explanatory Supplement to the Astronomical Ephemeris, Nautical Almanac Office, 1977;

vi.    J. Ligteneigen, Sagittarius (1980), 10, 18-19;

vii.  Lieske et.al., "Expressions for the Precession Quantities", Astron. Astrophys.(1977),58,1-16.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_______________________________________________

Pagina voor het laatst bewerkt op / Page maintained on:   31/12/2015