ASTROLOGISCH PROGRAMMA

NEWCOMB - VERSIE-3

De astronomische positie van Mercurius

PicoSearch      
  Help
                                                 

 

Menu 

 

Home

 

Newcomb-V3

 info

 

Mail

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Home >NewcombV3>Newcomb3_merc.html

De astronomische positie van Mercurius - Inleiding door Johan Ligteneigen

Het programma Newcomb dankt zijn naam aan één der grootste astronomen van zijn tijd, Simon Newcomb aan wie een aparte pagina op deze website gewijd is.
Een van Newcomb's hoogste doelstellingen was het bereiken van een enorme precisie voor de posities van de Zon, Maan en planeten, gebruikmakend van de gegevens en theorieën in zijn tijd. Tot en met het jaar 1984 werden zijn formules gebruikt voor het maken van astronomische- en astrologische efemeriden. Ook de bekende "American Ephemeris" van Neil F. Michelsen is hierop gebaseerd, zoals in het voorwoord van deze efemeride staat vermeld.

Als ultieme waardering voor Simon Newcomb's werk heb ik mijn eigen programma dan ook Newcomb gedoopt en ben ik in zijn voetspoor getreden om ook een ultieme precisie te bereiken voor de standen van Zon, Maan en planeten en nog meer. Mijn onderzoek strekte zich uit van 2002 tot en met heden en in die periode heb ik vele honderdduizenden tests uitgevoerd.

Eindelijk is de tijd daar om u de resultaten te tonen van vele jaren intensief werk. Op deze pagina treft u het volgende aan met betrekking tot de berekeningen van de positie van de Zon over de periode 4000 v.Chr. tot 8000 na Chr.

Inhoudsopgave:

 

Resultaten 2006-2106 in geocentrische lengte en declinatie

Hieronder ziet u de verschillen afgebeeld tussen de berekeningen volgens de nauwkeurige efemeride DE406 en de berekeningen van het programma Newcomb-V3 voor de periode 2006 tot 2106, een periode van 100 jaar.

Op de vertikale as ziet u de verschillen in boogseconden. In dit tijdsinterval is een gigantische precisie bereikt voor de geocentrische lengte van Mercurius, die nergens slechter is dan 0,005 boogseconden!!!

Niet alleen in dit tijdsinterval wordt deze precisie bereikt, maar deze is formeel geldig tussen 500 na Chr. en 2500 na Chr. Door de invloed van de precessie wordt de onnauwkeurigheid iets groter in de veraf gelegen jaren, maar deze wordt nergens groter dan 0,15 boogseconden!

Overige resultaten kunt u zien helemaal aan het einde van deze pagina.

In onderstaande figuur ziet u dan de verschillen in boogseonden wat betreft de declinatie van Mercurius in dezelfde periode van 2006 tot 2106:

Ook hier is een gigantische precisie bereikt die nergens slechter is dan 0,003 boogseconden!!!

Door de eeuwen heen blijft deze precisie gehandhaafd, maar wordt een beetje minder naarmate de veraf gelegen jaren naderen. In het jaar 1000 na Chr. bedraagt de precisie nog een 0,02 boogseconden!!!

naar het begin


De klassieke planeettheorie voor Mercurius volgens Simon Newcomb

Zoals reeds uitgelegd in de pagina over de berekeningen van de posities van de Zon heeft Simon Newcomb ook tabellen geconstrueerd voor het berekenen van de heliocentrische lengte, breedte en radius van Mercurius1.
In die tabellen die hier niet worden gepubliceerd, begint Newcomb met het opstellen van de formules voor de gemiddelde heliocentrische lengte en de andere baanelementen van Mercurius.
Op de berekende waarden worden dan de storingstermen toegepast als gevolg van de Newtonse aantrekking van de andere planeten.
Deze formules en storingstermen werden door mij gebruikt in het programma Newcomb-1 en de latere versies 2 en 2A. De volgende storingstermen werden gebruikt op de heliocentrische lengte, -breedte en –radius:

Storende planeet

Lengte-termen

Breedte-termen

Radius-termen

Venus

65

0

65

Aarde

28

0

28

Mars

0

0

0

Jupiter

33

0

33

Saturnus

11

0

11

Totaal

137

0

137

Kleinste eenheid

0,003”

n.v.t.

6.9x10-9 au

Breedte termen spelen hierin geen enkele rol volgens Newcomb. Alleen in het geval van de passage van Mercurius over zijn node in geval van transits wordt de invloed van Venus en Jupiter gebruikt, maar die invloed is maximaal 0,4 boogseconde in lengte en werd door Newcomb niet gegeven.
Verder is opvallend dat de invloed van Mars niet significant is en door Newcomb niet werd gebruikt in de tabellen.

Bovenstaande genoemde formules en storingstermen werden ook gebruikt bij de berekening van de bekende astronomische- en astrologische efemeriden, waaronder de bekende American Ephemeris van Neil Michelsen.

Uiteraard is ook hier heel veel veranderd in die 100 jaar sinds Newcomb’s theorie. In de theorie IPS2000 voor Mercurius heb ik in Newcomb-versie3 de volgende aantallen storingstermen gebruikt :

 

Termen in X

Termen in Y

Termen in Z

Functie van T

884

878

466

Functie van T1

490

492

244

Functie van T2

129

129

39

Functie van T3

15

15

11

Functie van T4

9

9

6

Functie van T5

1

0

0

Totaal

1528

1523

766

Totaal

38 17 termen

 

 

Het totaal van 3817 termen is wel “even wat meer” dan de 274 termen van Simon Newcomb. Dit grote aantal termen zorgt er uiteraard voor dat de precisie van de berekeningen tot op 0,001 boogseconde mogelijk is, een ongehoord prachtig resultaat, waarmee het mogelijk is om de plaatsbepaling ten behoeve van ruimtemissies mogelijk te maken.
Op een afstand van ca. 0,6 au (= 90 miljoen kilometer) betekent dit een nauwkeurigheid van ca. 436 meter!
Op een afstand van 1,4 ua (=210 miljoen kilometer) betekent dit een nauwkeurigheid van ca. 1 kilometer

Nauwk = sin (0,001”) x 0,60 x 150 miljoen km = 436 meter
Nauwk = sin (0,001”) x 1,40 x 150 miljoen km = 1017 meter

Men zou hiermee een wagentje of iets dergelijks redelijk precies kunnen laten landen op het oppervlak van Mercurius, maar dit terzijde.

naar het begin

 

De gebruikte theorie voor Mercurius in Newcomb-versie-3

De theorie van Simon Newcomb geeft over langere tijdsperioden toch teveel afwijkingen in de lengte en declinatie, grootheden van groot belang in de praktische astrologie. Uiteindelijk heb ik er voor gekozen om drie andere theorieën te gebruiken, elk voor een specifieke periode in de tijd.

A) De periode van 4000 v. Chr. tot 500 na Chr.

Deze periode wordt bijzonder netjes afgedekt door de theorie van de heren P. Bretagnon en J. L. Simon in hun boek “Planetary Programs and Tables from -4000 to +2800” 2
In dit boek en het bijbehorende artikel “Presentation of new Solar and planetary tables of interest for historical calculations” 3 wordt deze theorie uiteengezet. In het hierna volgende hoofdstuk zal ik met voorbeelden via mijn zelf gemaakte spreadsheet de theorie nader verklaren.
De nauwkeurigheid over deze lange periode is erg mooi te noemen. Hieronder ziet u het verschil afgebeeld tussen de resultaten van deze berekeningen met de standaard DE406 efemeride :

De nauwkeurigheid van de geocentrische lengte is rond het jaar 2900 v.Chr. nog ca. 30-35 boogseconden, maar loopt langzaam af tot een niveau van ca. 1 boogseconde in het jaar nul.

Het beeld van de declinaties laat het volgende zien:

In de hele vroege jaren is er een aardig verschil van ca. 40 boogseconden, maar dit loopt snel terug rond het niveau van 5 boogseconden rond de jaren 800 v. Chr. en komt bij het niveau van de 1 boogseconde in het jaar 100 na Chr.
Uiteraard is het mogelijk om deze theorie ook voor andere tijdsperioden te gebruiken, maar in Newcomb-V3 heb ik daar niet voor gekozen, omdat andere theorieën een betere nauwkeurigheid bieden.

Zoals elders uitgelegd, heeft elke planeettheorie altijd één der volgende eigenschappen:

1. Heel nauwkeurig over een bepaalde (meestal korte) tijdsperiode
2. Minder nauwkeurig, maar gelden voor een langere tijdsperiode

De theorie van Bretagnon/Simon valt duidelijk in categorie-2.
De theorie IPS2000 valt in categorie-1, alhoewel de tijdsperiode helemaal niet zo kort is
VSOP87 is officieel geldig van 21-12-1549 tot 30-01-2350 en valt hiermee in categorie-1

B) De periode van 500 na Chr. tot 2500 na Chr.

Deze periode omvat 99,5% van alle denkbare en bruikbare horoskopen. Nog mooier is het dat voor al deze horoskopen ongelooflijk nauwkeurige berekeningen gemaakt kunnen worden, waarvan u aan het begin van de pagina al een voorbeeld heeft gezien.

Al deze berekeningen gaan volgens de theorie IPS2000 (Improved Planetary System). Deze theorie is een voortzetting van VSOP87 met verbeterde massa’s voor de planeten volgens IERS2002 en een hoog ontwikkelde wiskundige storingsrekenig, rekening houdend met de Newton gravitatie van de Maan en de planeten tot en met Neptunus. Deze berekeningen worden gemaakt binnen het raamwerk van IPS2000, geldend voor de epoch J2000. Daarna worden de resultaten naar het systeem J2000 getransformeerd. De heliocentrische coördinaten voor J2000 worden via nauwkeurige precesieformules omgezet naar de heliocentrische coördiaten van datum.

Deze berekeningen worden uitgevoerd voor Mercurius en voor de Aarde voor hetzelfde tijdsmoment. Van beide hemellichamen worden de heliocentrische X, Y en Z-coördinaten berekend en hieruit worden de geocentrische posities berekend, zoals later wordt uitgelegd.

C) De periode 2500 na Chr. tot 3000 na Chr.

Voor dit tijdvak had ik kunnen kiezen voor de theorie van Bretagnon/Simon, maar de theorie VSOP87 (Variations Seculaires des Orbites des Planètes) biedt betere resultaten. Formeel loopt de geldigheid van VSOP van 1549 tot 2350 en hoe verder men buiten dit interval komt, hoe slechter de resultaten worden. Eigen experimenten leverden voor de periode +2500 tot +3000 nog steeds betere resultaten op dan met Bretagnon het geval is. Alle uitkomsten werden steeds met de standaard-efemeride DE406 vergeleken.

De heliocentrische coördinaten (op datum) worden berekend uit lange reeksen, net zoals bij de theorie van IPS2000. Onderstaande tabel laat zien hoeveel termen zijn gebruikt bij de berekeningen:

Termen in X

Termen in Y

Termen in Z

Functie van T

1853

1853

598

Functie van T1

1023

1023

360

Functie van T2

412

413

167

Functie van T3

135

135

47

Functie van T4

42

42

12

Functie van T5

16

16

7

Totaal

3481

3482

1191

Totaal

8154

 

 

In vergelijking met de theorie IPS2000 worden hier veel meer termen gebruikt, 8154 ten opzichte van 3817 bij IPS2000. Betere startparameters, nieuwere en betere planeetmassa’s bij IPS2000 zorgen ervoor dat de reeksen sneller convergeren, waardoor minder termen nodig zijn, en dat nog over een langere periode!

D) De periode +3000 tot +8000

Dit tijdvak wordt weer voorzien van de theorie van Bretagnon/Simon. De uitkomsten zijn minder precies, maar hier staat dus tegenover dat een langere periode is afgedekt en wel van 5000 jaar!!
Wij spreken hier nog steeds over een precisie op boogseconden-niveau, nog steeds een héél erg mooie precisie.

U ziet uit bovenstaande samenvattingen A) t/m D) dat ik steeds de meest nauwkeurige theorie heb toegepast om de posities te berekenen. Vrijwel alle bruikbare horoskopen komen toch voor in de periode +500 tot +2500 en hiervoor levert het programma Newcomb-V3 een werkelijke MEGA-precisie.

Naar het begin 

 

Algemene theorie Geocentrische lengte, breedte, declinatie en R.K. voor Mercurius aan de hand van de theorie van Bretagnon / Simon

1) Heliocentrische lengte, breedte en radius van Mercurius

De heliocentrische lengte van Mercurius wordt gegeven als :

L = 4,4429839 + 260881,4701279.U +

    10-6 (409894,2 + 2435.U – 1408.U2 + 114.U3 + 233.U4 – 88.U5) x

    sin(3,053817+260878,756773.U – 0,001093.U2 – 0,00093.U3 + 0,00043.U4 + 0,00014.U5)

Hierbij is U gelijk aan T/100
T is de Juliaanse Eeuw, berekend voor de epoch J2000. Deze variabele kunt u berekenen aan de hand van de gegeven formules in mijn artikel "Juliaanse Datum en Juliaanse Eeuw met formules" uit 1999.

Alle hoeken zijn gegeven in radialen, waarbij 1 graad gelijk is aan : 1/180 * π radialen

Wij zullen weer het voorbeeld aanhouden dat ik ook gebruikt heb bij de berekening van de posities van de Zon, t.w. :
1 januari 2000 om 12 uur TT, waarbij T=0 en U = 0

L = 4,4429839 + 0,4098942 x sin(3,053817 rad) = 4,478916449 rad = 256°37’ 22,83”

Het verloop van de mean Heliocentrische lengte kan met deze formules mooi inzichtelijk worden gemaakt door de formule in een spreadsheet te zetten en dat voor meerdere datums achter elkaar te doen. Ik heb dit gedaan voor de datums vanaf 1 januari 2000 tot en met 31 maart 2000.
Volgens de formules zou dit een rechte lijn moeten zijn, met een kleine sinusfuctie daar overheen gesuperponeerd, maar met een zeer kleine amplitude.

Het verloop van januari, februari en maart 2000 resp ziet er als volgt uit :

  

U ziet het verloop van de heliocentrische lengte langzamerhand “afvlakken”, minder snel lopen naarmate de tijd vordert.
Het snelheidsverloop heb ik ook even uitgezet in één grafiek voor deze 3 maanden :

U ziet hier dat dit een mooie sinus (en cosinus) functie is van de tijd, maar daarover later meer.
De variatie van de snelheid heeft natuurlijk te maken met het feit dat de baan van Mercurius een “stevige” ellips is met een eccentriciteit van 0,205.

Het perhelium van Mercurius, het punt waar deze het dichtst bij de Zon staat in zijn baan, wordt gegeven door

P = 75,89944° + 1,555°T (T vanaf J1900)
De node (N) wordt gegeven door : N = 47,1458° + 1,185°T (T vanaf J1900)

In ons voorbeeld ziet u de hoogste snelheid optreden op ca. de 45e dag = ca. 15 februari 2000

In het spreadsheet vindt u :

De heliocentrische lengte van Mercurius volgens Bretagnon loopt van 72 tot 84 graden en in dat gebied bereikt Mercurius de grootste snelheid, perfect overeenkomende met zijn baan-ellips:  

In de getekende ellips ziet u de posities aangegeven van Mercurius om de 10 dagen, startende vanaf 1 jan. 2000 tot 31 maart 2000, aangegeven met de nummers 1 t/m 10. Dit zijn de heliocentrische posities, volgens de eerder gegeven formule, zonder de additionele storingstermen.

1= 01-01           2 = 10-01          3 = 20-01          4 = 30-01          5 = 09-02
6 = 19-02          7 = 29-02          8 = 10-03          9 = 20-03          10 = 30-03

Mooi is te zien dat Mercurius zijn grootste heliocentrische snelheid bereikt wanneer hij zich door zijn perihelium begeeft, grofweg tussen de posities-5 en 6, overeenkomende met de datums tussen 9 feb. en 19 feb. Daarna neemt zijn snelheid af tot Mercurius zich in zijn aphelium bevindt, de positie zo ver mogelijk van de zon verwijderd, overeenkomende met de posities 1 en 10.

Wij gaan nu verder met de berekening van de exacte heliocentrische lengte. Op de eerder berekende gemiddelde heliocentrische lengte moeten nog de storingsfactoren worden toegepast. Dit zijn er slechts 25 stuks!. Deze worden hieronder gegeven als een screenshot uit mijn spreadsheet.

De formule om de storingen te berekenen luidt als volgt:

10-7 x (25 termen). SOM[Lix(Ai + VixU)]

Ook hierbij staan alle hoeken in radialen genoteerd. 
In ons voorbeeld van 1 jan. 2000, waarbij U = 0, luiden de eerste twee termen:

Term1 = 510728.10-7.sin(6,09670 + 521757,52364.U) = -0,00946921848 radialen
Term2 = 404847.10-7.sin(4,72189 + 1,62027.U ) = -0,040482872 radialen

En zo rekent u alle andere resterende termen uit, zoals ik in mijn spreadsheet gedaan heb. Het totaal van alle termen is gelijk aan -0,049581795 radialen = -2,840827596 graden. Deze totaalstoring telt u op bij de reeds berekende gemiddelde heliocentrische lengte en dit is dan de uiteindelijke heliocentrische lengte voor de datum, dus de precessie zit hierin al verwerkt.

Het resultaat: L = 253°46’ 55,854”

Merk op dat na 5 storingstermen als 94,83% van de mogelijke extra-lengte is bepaald. De storingsreeks is een  snel convergerende reeks met als kleinste term 137.10-7 rad. = 0,000785 graden = 2,83 boogseconden. 
Hiermee komt de formele nauwkeurigheid uit op ca. 2 x√25 x 2,83 “ = 28,3” over de gehele tijdsreeks van 12.000 jaar die de theorie maximaal omvat. De schrijvers van het artikel3 geven een nauwkeurigheid van 15,7”± 0,12”t. op, waarbij “t” in eenheden van 1000 jaar vanaf J2000 ligt.

Heliocentrische breedte

De heliocentrische breedte voor datum wordt gegeven door de eenvoudige expressie:

B = (18 termen). SOM[Bix(Ai + Vi.U)]

Er zijn dus slechts 18 termen om de breedte te bepalen. Deze vindt u hieronder als een screenshot uit mijn spreadsheet:

In ons voorbeeld luiden de eerste twee termen:

Term1 = 680303.10-7x sin (3,82625 rad) = -0,043022879 rad (= -2,465029°)
Term2 = 538354.10-7 x sin (3,30009 rad) = -0,0849708 rad (= -0,486847°)

En zo rekent u de resterende termen uit. Het totaal van alle termen bedraagt: -0,052725864 radialen 
Dit is gelijk aan  -3°01’ 15,49” en dit is dus de heliocentrische breedte B voor 1-1-2000 om 12h. TT.

Het verloop van de heliocentrische breedte in de periode 1 jan. en 30 april 2000 is uitgezet in de volgende grafiek uit het spreadsheet.

Hierin is mooi te zien hoe de heliocentrische breedte ook weer een sinusfunctie is.
De breedte begint eerst zuidelijk en loopt daarna door de nul-lijn op dag-41, wat gelijk is aan 10 februari en dit komt overeen met positie-5 in de baangrafiek van Mercurius, die hieronder nog een keer getoond wordt:

Dit komt heel mooi overeen met de theorie van de baanberekening: wanneer een planeet over zijn node heen loopt, is de breedte per definitie nul en wordt daarna noordelijk.
Het maximum van de breedte ligt bij dag 58-59, waarbij de breedte gelijk is aan 7,1524° en de lengte gelijk aan 140,1°. Dit komt overeen met de posities 6 en 7 in de tekening hierboven. De maximum breedte wordt bereikt  als de heliocentrische lengte gelijk is aan de lengte van de node + 90 graden. Dit is hier 48,33 + 90 = 138,3°.
In het plaatje van de officiële baantheorie is dit ook weergegeven:

De maximale breedte die bereikt kan worden, is gelijk aan de hellingshoek van de baan van Mercurius met het vlak van de ecliptica. 
De gemiddelde hellingshoek wordt gegeven door : incl = 7°.01’.10” + 7”.T, met T vanaf J1900. In 2000 is de hellingshoek dan 7°01’17”, ofwel 7,0214°.
Onze breedte maakt hiermee een verschil van 0,131 graad.

De breedte wordt weer nul als Mercurius daarna door zijn Zuidelijke knoop heen beweegt. Deze ligt precies 180° verder dan de Noordelijke knoop, dus op 48,33 + 180 = 228,33°.
In onze grafiek wordt de zuidelijke breedte bereikt op dag-80 ofwel op 19 maart 2000, overeenkomende met positie “even voor negen”, dus keurig op de lijn der noden.

Heliocentrische radiusvector

De radius vector van Mercurius wordt gegeven door de volgende formule:

R = 0,3952020 + 10-7x(14 termen).SOM[Rixcos(Ai + Vi.U)]

In ons voorbeeld van 1 jan. 2000 12h TT wordt dit: 
R = 0,3952020 + ……………

Term1 = 780141.10-7xcos(6,202782 rad) = 0,077762067 au
Term2 = 78942.10-7xcos(2,98062 rad) = -0,007792142638 au

Zo rekent u alle resterende termen uit. Dit geeft als resultaat: 0,07126764 au. Dit telt u op bij de beginwaarde van 0,3952020 au. De uiteindelijke uitkomst is dan :

R = 0,46646964 au

Samenvattend hebben wij dan de volgende waarden van de baan van Mercurius bepaald op 1 jan. 2000 12h TT:

L = 253°46’ 55,854”
B = -3°01’ 15,49”
R = 0,46646964 au

De referentie-efemeride DE406 geeft ons als resutaat:

De verschillen met de DE406 zijn achtereenvolgens:

In L : 2,687” minder
In B: 6,46” minder
In R: 1,835.10-6 au minder (overeenkomend met ca. 275 km afstand)

De afwijking in heliocentrische lengte L valt erg mee, gezien het feit dat de formules geldig zijn over een bereik van 12.000 jaar! De nauwkeurigheid van de convergerende reeks in L bedraagt ca. 2.√25 x 137.10-7 rad = ongeveerd 28” als maximale waarde, maar die wordt nooit gehaald. Het gemiddelde van een sinus bedraagt 2/π, dus de restwaarde van de reeks bedraagt ca. 28” x 2/π = 18”. De resultaten zijn het best in J2000 zelf en nemen daarna af naarmate men verder weg raakt van deze epoch.

De 18 termen in de convergerende reeks van B hebben als kleinste waarde 201.10-7 rad. Dit levert een theoretische nauwkeurigheid op van ca. 2x√18x201.10-7 rad = 35”. Ook hier wordt dit nooit bereikt, maar beter is het gemiddelde van een sinus te nemen, dus 35” x 2/π = 22” als gemiddelde nauwkeurigheid in de breedte.

Ook in ons voorbeeld is het verschil veel minder (slechts 6,5”), maar dat komt, omdat het beste resultaat altijd in J2000 verkregen wordt.  

Naar boven

De coördinaten X, Y en Z in het Cartesiaanse stelsel

De volgende formules gelden bij het omzetten van de heliocentrische lengte (L), breedte (B) en radius (R)

(1)  X = R x cos(L) x cos(B)
(2)  Y = R x sin(L) x cos(B)
(3)  Z = R x sin(B)


Wij zullen de gegeven uitkomsten van L, B en R omzetten naar X, Y en Z

Xmerc = 0,46646964 x cos(253,7821817) x cos(-3,020969444) = -0,130099132 au
Ymerc = 0,46646964 x sin(253,7821817) x cos(-3,020969444) = -0,447284905 au
Zmerc = 0,46646964 x sin((-3,020969444) = -0,02458362 au

De referentie-efemeride DE406 geeft als waarden :

De afwijkingen zijn hier zeer gering, overeenkomend met de geringe afwijkingen in L, B en R.
Als proef op de som geldt nog : X2 + Y2 + Z2 = R2

R2 = -0,1300991322 + -0,4472849052 + -0,024583622 = 0,217593924 au2

R is derhalve √0,217593924 = 0,46646939 au.  En dit klopt perfect met de eerder berekende waarde van R.

Met behulp van de berekende X en Y waarden van de Aarde en de X en Y van Mercurius voor diverse waarden in de tijd, kan mooi getoond worden hoe de planeten gesitueerd staan ten opzichte van de Zon.
In mijn lange artikel over de positiebepaling van de Zon vindt u de X- en Y-coördinaten terug van de Aarde. Deze heb ik in een apart spreadsheet gezet.
De waarden van X en Y heb ik voor ook voor Mercurius toegevoegd, zoals hieronder is te zien.

Wanneer je dit in Excel uitzet in een X-Y graph met lijnen, dan ontstaat het volgende prachtige beeld…..

In de buitenste cirkel ziet u de baan van de Aarde vanaf januari 2000 tot januari 2001, de bijna ronde cirkel, waarvan ik al melding maakte in het artikel over de Zon.
In diezelfde tijd is Mercurius 3 keer in zijn  eigen baan rondgeweest en heeft het traject afgelegd, zoals u kunt zien volgens de rode curven, dit alles prachtig op schaal getekend.
Als ik nu alleen van de eerste 4 maanden uit 2000 de X en Y-waarden grafisch uitzet, dan ontstaat het volgende beeld n.a.v. de hieronder gegeven waarden voor X en Y van de Aarde en Mercurius.

De bijbehorende baangrafiek ziet er als volgt uit:

De posities van de Aarde (de blauwe baan) zijn met nummers aangegeven, evenals de posities van Mercurius (de rode baan) op dezelfde dagen. De Zon moet u denken in ongeveer het midden van de rode baan.
Als u een denkbeeldige lijn trekt tussen positie-2-3 van de Aarde en positie-2-3 van Mercurius, dan gaat deze lijn min of meer “door de Zon”. Op die datums staan de Zon en Mercurius conjunct met elkaar. Dit heet de “bovenconjunctie”, omdat vanaf de Aarde gezien Mercurius “boven” de Zon staat.
Dit treedt op tussen 10 en 20  jan. 2000, visueel gezien vanuit de grafiek.

Een stukje Switserse Efemeride van januari 2000 laat zien dat de conjunctie daadwerkelijk optreedt op 15 januari 2000.

Naar boven


Snelheid Heliocentrische Lengte Mercurius

Deze snelheid hebben wij nodig om later de snelheid te verkrijgen van de heliocentrische coördinaten X, Y en Z.. Pas wanneer die bekend zijn (evenals van de Zon), dan kan bepaald worden wat de Geocentrische snelheid is van Mercurius, met andere woorden: of deze retrograde staat of niet.
De snelheid van de heliocentrische lengte wordt bepaald door de vergelijking voor L te differentiëren naar de tijd “U”. Wij krijgen dan voor het eerste deel (zonder de storingsfactoren) :

d.L/d.U = 260881,4701279 +

            10-6{409894,2 + 2435U -1408U2 + 114u3 +233U4 -88U5} x

cos(3,053817 + 260878,756773.U – 0,001093.U2 – 0,00093.U3 + 0,00043.U4 + 0,00014.U5) x

(260878,756773 -2x0,001093.U – 3x0,00093U2 + 4x0,00043.U3 + 5x0,00014.U4)

Deze formule valt uiteen in twee delen, nl.:

  • Het constante deel 260881,470127 rad. Per 3652500 dagen. Dit is gelijk aan 0,071425453 rad. Per dag, ofwel 4,092377° per dag.
  • Het tweede deel van de formule is variabel. Als de cosinus maximaal is (=1), dan is de bijdrage van dit deel ca. 1° per dag. Is de cosinus minimaal (= -1) dan is de bijdrage van dit deel ca. -1° per dag.

Ook het deel met de 25 storingstermen moet gedifferentieerd worden naar U en dit geeft:

d.L/d.U = 10-7 (25 termen). SOM[Li x(Ai + Vi.U) ] x Vi

In ons voorbeeld zullen wij de snelheid van de heliocentrische lengte uit de drie delen gaan samenstellen. T=0 en U=0.

Deel-1 : 260881,4701279 / 3652500 = 0,071425453 radialen per dag
Deel-2: 10-6(409894,2) x cos(3,053817 rad)x260878,,756773 = -106521,0187 rad /3652500 = -0,02916387 rad/dag.
Deel-3, term1 = 5110778.10-7x cos(6,09670)x521757,52064 = 26185,59991 rad/U
Deel-3, term2 = 404847.10-7 x cos(4,72189)x1,62027 = 6,2322088.10-4 rad/U
Deel-3, term3 = 91046.010-7x cos(2,8946)x782636,2744 = -6909,495077 rad/U

Zo rekent u alle resterende termen uit. Het totaal van alle 25 termen bedraagt: 20631,2818192 rad per eenheid U. Dit is gelijk aan 0,005648537 rad per dag = 0,323637 graden per dag.

De totale snelheid van de heliocentrische lengte is gelijk aan der som van de drie delen, t.w.:

4,092377 – 1,670966 + 0,323637 = 2,745048 graden per dag. Dit is gelijk aan 2°44’ 42,17” per dag.

Roepen wij nog even de standen van de DE406 naar voren :

Het verschil tussen 2-jan en 1-jan bedraagt 256°31’37,8697” – 253°46’ 58,5407” = 2°44’ 39,33” per dag

De hel. snelheid van onze berekeningen met de DE406 verschilt slechts 2,84 boogseconden per dag!!

 

Snelheid heliocentrische breedte

Ook hier moet de vergelijking van “B” worden gedifferentieerd naar de tijd “U”. Gelukkig is deze vergelijking wat eenvoudiger dan die bij de lengte.

d.B/d.U = 10-7 (18 termen). SOM[Bix(Ai + Vi.u) ]xVi

Term-1 = 680303.10-7xcos(3,82625 rad)x260879,17693 = -13747,99482 rad/U
Term-2 = 538354.10-7xcos(3,30009 rad)x260879,66625 = -13868,5206 rad/U
Term-3 = 176935.10-7xcos((3,7407 rad)x0,40005 = -0,005852 rad/U
Term-10 = 12963.10-7xcos(0,2455 rad)x1043515,661 = 1312,1496 rad/U

Zo rekent u alle resterende termen uit, ook de laatste want dezer is bijna altijd groter dan de 4e term, vanwege de lage waarde van Vi van deze 4e term.
Alle 18 termen geven
-19375,99676 rad per eenheid U = -0,005304859 rad per dag = -0,303946 graden per dag. Dit is gelijk aan -0°18’ 14,21” per dag.

De snelheid van de hel. Breedte volgens de DE406 is gelijk aan : -3°19’21,7968” - -3°01’21,9518” = 0° 17’ 59,84” per dag.
Het verschil van onze berekening en die van de DE406 bedraagt hier 14,37 boogseconden per dag.

Dit is echter onjuist. De snelheidsverandering per dag is redelijk groot. Beter is het om de resultaten per uur op vragen. Dit geeft het volgende beeld :

De snelheid volgens DE406 bedraagt nu -3°2’ 7,484” minus -3°1’ 21,9518” = 45,53” per  uur x 24 = 0°18’12,77”  per dag. 
Dit is al een betere benadering van het juiste resultaat en onze eigen berekening verschilt hiermee nog slechts 1,44 boogseconden per dag.
Als wij de resultaten van de DE406 per 30 minuten opvragen, dan krijgen wij :

De snelheid bedraagt nu : -3°1’ 44,7237” minus -3°1’ 21,9518” = 22,7719” per half uur x 48 = 0°18’ 13,05” per dag.

Onze eigen berekeningen verschillen nu nog maar 1,16 boogseconden per dag!!


Als wij dit ook nog even toepassen op de snelheid in lengte, dan krijgen wij volgens de DE406 :
253°50’ 24,4146” minus 253° 46’ 58,5407” = 205,8739” per half uur x 48 = 2°44’ 41,95” per dag.
Onze eigen berekeningen hadden als snelheid  :
2°44’ 42,17” per dag

Het verschil is nu nog maar : 0,22 boogseconden per dag !!!

U ziet dus hoe belangrijk het is bij de metingen van de snelheden om zo dicht mogelijk bij het daadwerkelijke tijdstip te zitten

 

Snelheid heliocentrische radiusvector

Ook de vergelijking van R moet worden gedifferentieerd naar de tijd U. Wij krijgen dan :

d.R / d.U = 10-7. (14 termen). SOM[-Ri xsin(Ai + Vi.U) ] x Vi

Term1 = -780141.10-7 .sin(6,202782 rad) x 260878,753962 = 1634,623341 au/U
Term2 = -78942.10-7 .sin(2,98062 rad) x 521757,50830 = -660,1638301 au/U

Zo rekent u alle resterende termen uit. Het resultaat hiervan bedraagt: 1286,528149 au per eenheid U. Dit is gelijk aan 1286,528149 / 3652500 = 0,000352232 au per dag

Uit het resultaat blijkt dat de radius nog een klein beetje toeneemt met 0,000352232 au per dag. Dit komt overeen met ongeveer 0,000352232 x 150 miljoen km. = 52.835 kilometer per dag!! Dit komt overeen met positie-1 in de bekende baan, zoals eerder afgebeeld.

Positie-1 ligt nog nét voor het aphelium, de plaats waar Mercurius het verst is verwijderd van de Zon.
Hierna nadert Mercurius het aphhelium waar de snelheid van de radius gelijk is aan NUL. Hierna begint Mercurius de Zon weer te naderen met een toenemende snelheid.

Het snelheidsverloop in kilometers per dag heb ik hieronder afgebeeld

U ziet dat Mercurius de duizelingwekkende snelheid van 900.000 kilometer per dag inwaarts bereikt rond dag-30 – 29 januari en dit komt overeen met positie-4. Daarna neemt de inwaartse snelheid weer af en rond dag-46 is de snelheid van de radius vector weer NUL. Dit komt overeen met 15 februari = positie-5/positie-6.

U ziet, alles klopt zeer prachtig met de baantheorie en dit maakt heel erg veel inzichtelijk omtrent de bewegingen van de planeet Mercurius in zijn baan om de Zon.  

Naar boven


Snelheid van de heliocentrische X, Y en Z-coördinaat van Mercurius 

Wij komen steeds een stapje dichterbij de oplossing voor de Geocentrische positie van Mercurius, die van groot belang is voor elke berekende horoskoop. Alle standen in de horoskoop zijn berekend vanuit de Aarde gezien, dus Geocentrisch.
Wij hebben de X, Y en Z-coördinaat al eerder berekend. Nu resteert ons nog de snelheden van deze coördinaten te bepalen. Dit kan door ze af te leiden uit de eerder gegeven formules (1), (2) en (3)

(1)  X = R x cos(L) x cos(B)
(2)  Y = R x sin(L) x cos(B)
(3)  Z = R x sin(B)

Wij hebben ondertussen d.L, d.B en d.R al berekend en kunnen de boven gegeven formules uitbreiden naar…

(4)  X+1 = (R+d.R) x cos(L+d.L) x cos(B+d.B)
(5)  Y+1 = (R+d.R) x sin(L+d.L) x cos(B+d.B)
(6)  Z+1 = (R+d.R) x sin(B+d.B)

en verder nog

(7) d.X = X+1 – X
(8) d.Y = Y+1 - Y
(9) d.Z = Z+1 - Z

In ons voorbeeld van 1 jan. 2000 12h TT geeft dit de volgende waarden:

X+1 = 0,466821872 x cos(256,5272297) x cos(-3,324915444) = -0,108578583 au
Y+1 = 0,466821872 x sin(256,5272297) x cos(-3,324915444) =  -0,453211105 au
Z+1 = 0,466821872 x sin((-3,324915444) = -0,027074808 au

Hiermee krijgen wij dan tevens:

d.X = +0,021520548 au/dag
d.Y = -0,005926200455 au/dag
d.Z = -0,002491188206

Deze waarden worden weer in de volgende stappen gebruikt. In onderstaande tabel worden alle waarden nog eens overzichtelijk bij elkaar gezet.

 

Eigen berekeningen

DE406

Datum

X

Y

Z

X

Y

Z

01-01-2000

-0,130099132

-0,447284905

-0,02458362

-0,130093603

-0,447287619

-0,024598310

02-01-2000

-0,108578583

-0,453211105

-0,0270748

-0,108547806

-0,453081112

-0,027049143

 

 

Eigen berekeningen

DE406

Datum

d.X

d.Y

d.Z

d.X

d.Y

d.Z

01-01-2000

0,021520548

-0,005926200

-0,002491188

0,021545797

-0,005793493

-0,002450833

02-01-2000

-

-

-

-

-

-

Nu alle gegevens voor zowel de Zon als voor Mercurius bekend zijn, kunnen wij de geocentrische coördinaten berekenen.  

Naar boven

 

Geocentrische lengte, breedte en afstand  

Uit de X-, Y- en Z-coördinaten van de zon en Mercurius worden alle geocentrische waarden bepaald. Hierbij gelden de volgende vergelijkingen:

(10) ξ = X(zon) + X(merc)       - Griekse “ksi”
(11) η = Y(zon) + Y(merc)       - Griekse “èta”
(12) ζ = Z(zon) + Z(merc)        - Griekse “zèta”

Deze vergelijkingen volgen uit de onderstaande geometrie van de posities die Mercurius en de Aarde innemen in het Zonnestelsel.

Het eindresultaat moet zijn: de positie van Mercurius vanuit de Aarde bekeken, dus de vector “Aarde-Merc” in de tekening. Deze vector is de samenstelling uit 2 andere vectoren. De grootte en richting van vector A>M is samengesteld uit: vector Aarde>Zon (vector-1) en de vector Zon>Merc (vector-2).

De ruimtelijke vector Aarde-Zon wordt voorgesteld door de X, Y en Z van de Zon.
De ruimtelijke vector Zon-Mercurius wordt voorgesteld door de x, y en z van Mercurius

In het platte vlak X,Y geldt dan in bovenstaande schets :

Vector-1 = (-4,-2) = Aarde> Zon
Vector-2 = (2, -1) = Zon > Mercurius
--------------------------------------------------- +
Vector-3 = (-2,-3) = Aarde > Mercurius

Dit geldt uiteraard ook voor het Z-vlak (niet afgebeeld).

De vergelijkingen (10), (11) en (12) geven dus de ruimtelijke optelling van beide vectoren.
In ons voorbeeld van 1 jan. 2000 gedlt :

X(zon) = 0,177134441
Y(zon) = -0,967239927
Z(zon) = 0

X(merc) = -0,130099132
Y(merc) = -0,47284905
Z(merc) = -0,02458362

ξ = 0,047035309
η = -1,414524875
ζ = -0,02458362

Uit vergelijkingen (10), (11) en (12) volgt :

(13)  Δ2 = ξ2 + η2 + ζ2      waarbij  Δ de afstand Aarde-Mercurius voorstelt

In ons voorbeeld geldt: Δ2 = 0,0470353092 + -1,4145248752 + -0,024583622 = 2,003697297 au2
Hieruit volgt voor
Δ de waarde √2,003697297 =1,415520151 au.
De DE406 geeft 1,415524967 au, een verschil van 4,816.10-6 au, is slechts 722 kilometer op een afstand van ruim 212 miljoen kilometer !!

Voor de geocentrische ecliptische lengte geldt:

(14) λ = arc.tan (η / ξ )

Hierbij is enige oplettendheid geboden met betrekking tot het juiste kwadrant waarin de lengte moet liggen. Herinner hierbij de “eenheidscirkel” van de schoollessen geometrie.

In ons voorbeeld van 1 jan. 2000, 12h TT

λ = arc.tan ( -1,414524875 / 0,047035009) = arc.tan(-30,07368092).

Hieruit volgt dat de lengte λ gelijk is aan : -88,09552157 graden.
Hierbij 180 graden optellen, omdat een negatieve hoek niet kan.
Hierbij ook nog eens 180 graden optellen, omdat de teller van arc.tan negatief is.

Uiteindelijke lengte, λ = 271,9044784° = 271° 54’ 16,12”
De DE406 geeft als resultaat : 271° 54’ 17,0027”.
Onze berekende lengte zit hier dus slechts 0,88 boogseconden vandaan!!

Voor de geocentrische ecliptische breedte geldt:

(15)  β = arc.sin(ζ / Δ)

In ons voorbeeld :

β = arc.sin (-0,02458362 / 1,415520151) = arc.sin(-0,017367198).
Hieruit volgt voor β : -0,995117227° = -0° 59’ 42,42”
De DE406 geeft als resultaat : β = -0° 59’ 43,95”
Onze berekeningen zitten hier dus 1,53 boogseconden van af.  

Naar boven

Geocentrische Rechte Klimming en Declinatie

De Rechte Klimiing, RK kan worden berekend d.m.v. de volgende formule :

(16) tan. RK = (cos.β.sin.λ.cos.ε – sin.β.sin.ε ) / (cos.β.cos.λ)

Voor deze berekening heeft u nu ook de waarde nodig van de mean ecliptica die u kunt berekenen aan de hand van mijn artikel “De helling van de ecliptica met formules” =  http://home.kpn.nl/jligteneigen/Artikelen/Art02NL.html

De waarde ε bedraagt op 1 jan. 2000 12 TT: 23°26’ 21,448” = 23,43929111°

Tan. RK = (0,999849178 x -0,999447621 x 0,917482062 - -0,017367198 x 0,397777155) / (0,999849178x0,033233298)
Tan RK = -0,909928689 / 0,03228255 = -27,3841598

RK is gelijk aan : -87,90863288
Hierbij 180° optellen, omdat een negatieve hoek niet kan
Hierbij nog eens 180° optellen, omdat de teller van arc.tan negatief is

RK is hiermee gelijk aan: 272,0913671°
De Rechte limming wordt altijd uitgedrukt in uren, minuten en seconden, dus wij moeten de uitkomst nog delen door 15.
Dit geeft ons 18,13942447 uur = 18h 08m 21,9281s
De DE406 geeft als resultaat: 18h 08m 21,99418s.
Het verschil met de DE406 bedraagt hier 0,06607s en dit is erg weinig.

De andere belangrijke grootheid is de Declinatie, δ die van groot belang is voor het vaststellen van parallellen in de horoskoop.

(17)             sin. δ = cos.β x sin.λ x sin.ε+ sin.β xcos.ε

In ons voorbeeld:

sin. δ = 0,999849178 x -0,999447621 x 0,397777155 + -0,017367198 x 0,917482062 = -0,413431563
Hieruit volgt voor de declinatie δ : -24,42058335° = -24° 25’ 14,10”
De DE406 geeft als resultaat : -24° 25’ 15,6199”.
Het verschil met onze berekeningen is hier 1,5199 boogseconden, geen slecht resultaat.  

Naar boven


True en Apparent Geocentrische Lengte 

De zuivere “mean geocentric longitude” heeft u al eerder leren berekenen aan de hand van de formules (1) t/m (14). In deze lengte zitten al vrijwel alle lang-periodieke storingen verwerkt, die de Aarde en Mercurius in hun baan hebben ondervonden.
Dit heeft uiteindelijk geresulteerd in de heliocentrische lengte, breedte en radius waaruit de heliocentrische X, Y en Z coördinaten zijn gevormd. Uit deze heliocentrische X, Y en Z-coördinaten ontstonden ξ η en ζ waaruit de geocentrische lengte, λ en breedte, β werden berekend.
Er zijn behalve de lang-periodieke storingen ook nog een zeer groot aantal kort-periodieke storingen, die de Aarde ondervindt van de Maan en de planeten. Hierin zitten ook storingen met een hele korte periode van enkele dagen verwerkt en zélfs storingen die te maken hebben met de vorm van de Aarde, zoals de hoogte van grote bergen en de oppervlakte van oceanen en zo meer. Deze invloeden bepalen de grootte van de aantrekking door de Maan. De laatst genoemde storingen hebben zelfs een periode van 6 uur, omdat in die korte tijd de Aarde een kwart om zijn as is gedraaid en daarmee een hel continent "voor het vizier"van de Maan is gekomen. Dit telt allemaal mee in de aantrekkende krachten door de Maan.

Al deze kort-periodieke storingen op de lengtepositie van de Aarde wordt de nutatie genoemd. Over de nutatie heb ik al enkele artikelen geschreven in het maandblad Sagittarius en u vindt deze ook in het artikel “Nutatie in lengte en ecliptica met formules “ , waarvan hier de link naar het artikel

Een apart artikel over de nieuwste nutatie ontwikkelingen en formules zal nog verschijnen in het kader van Newcomb versie-3.

Door toevoegen van de nutatie (in lengte) aan de berekende geometrische geocentrische lengte, ontstaat de True Longitude, dus :

(18)  λtrue = λ + nutatie in lengte, ψ

In ons voorbeeld van 1 jan. 2000 12h TT bedraagt de nutatie in lengte :

Δψ = -13,93200”

Hierdoor wordt de True Longitude, λtrue = 271° 54’ 16,12” – 13,932” = 271° 54’ 2,168”

Deze true positie wordt nog maar in slechts enkele efemeriden toegepast. Waarom is niet duidelijk. De True Posities zijn de enige die de standen van de hemellichamen aangeven, zoals ze werkelijk in het Zonnestelsel ten opzichte van elkaar staan, rekening houdend met alle gravitatiekrachten.
De nieuwe efemeriden geven tegenwoordig de zogenaamde Apparent standen en dat zijn de standen van de hemellichamen, zoals ze ervaren worden als we naar de hemel kijken. Hierin zit toch een flink verschil. Gemiddeld is dit ca. 20 boogseconden voor alle planeten, behalve de Maan.  

Apparent Longitude – Aberratie

De Apparent Longitude is de lengte van een hemellichaam, zoals dat gezien wordt vanuit een waarnemer op Aarde. Onderstaande afbeelding laat deze situatie zien in geval van de Zon.

Wanneer een waarnemer op Aarde naar de Zon kijkt, dan ziet hij op dat moment de lichtbundel van de Zon. Deze lichtbundel is een bepaalde tijd onderweg geweest van de Zon naar de Aarde.
Met een gemiddelde afstand van ca. 1 au (149.597.870 km) en een lichtsnelheid van 299.792,458 km/sec doet het licht er ca. 500 seconden over om de Aarde te bereiken. In die 500 seconden is de Zon  van pos-1 naar pos-2 doorgelopen in zijn schijnbare baan.
Op het moment dat de waarnemer op Aarde de Zon ziet, ziet hij het licht van de Zon op positie-1, maar de werkelijke Zon (de True longitude) staat inmiddels op positie-2.
Welke Zon neem je nu bij de berekening van een horoskoop? De True Longitude of de Apparent (Schijnbare)? U mag het zeggen!

Vanaf versie-1 van mijn programma Newcomb was dit al een instelbare optie, dus u kunt zelf kiezen welke standen u in de horoskoop wilt hebben.

Gebruikt u moderne efemeriden, dan is die keuze er niet meer. De daar afgedrukte standen zijn  voor 90% de Apparent standen, die gemiddeld 21” afwijken van de True standen.
Mijn eigen ervaringen van de afgelopen 25 jaar in de astrologie zijn dat de True posities vrij precies uitwerken. Het mooiste voorbeeld is natuurlijk de dood van Milosevic die ik in 2004 reeds voorspelde op 1 dag verschil! De progressieve Zon liep in een perfecte oppositie met een vooraf reeds gecorrigeerde Ascendant op de boogseconde nauwkeurig.
Dit feit en de vele honderden andere feiten geven mij de indruk dat de True positions het erg goed doen. Het mooiste onderzoek dat men kan uitvoeren is voor elke progressieve horoskoop twee versies maken: één met de True standen en de andere met de Apparent standen en dan vervolgens bestuderen welke verschillen optreden.

Uiteraard is de keuze tussen True en Apparent weer aanwezig in Newcomb versie-3.

Verder nu met de Apparent berekeningen.

Zoals u reeds zag in voorgaande tekening ligt de True positie altijd verder in de zodiak dan de Apparent positie, althans bij hemellichamen die gewoon vooruit lopen, dus niet retrograde zijn. Bij retrograde planeten ligt de Apparent positie juist vóór op de True positie.
Het “licht” van een hemellichaam doet er Δ. 149.597.870 / 299.792,458 seconden over om de Aarde te bereiken. Hierbij is “Δ” de afstand tussen Aarde en hemellichaam. In geval van de Zon is “Δ” gelijk aan de radiusvector van de Zon, voor de maan of een andere planeet is “Δ” gelijk aan het resultaat, berekend uit de vergelijkingen (10) t/m (13).

Als de dagsnelheid van het hemellichaam “v” graden per dag is, dan legt het hemellichaam in 1 seconde een afstand van 1/86400 x “v” graden af, want in 1 dag zitten 86.400 seconden.

Het licht van de planeet heeft Δ x 149.597.870 / 299.792,458 seconden nodig, dus de lengte-toename in die tijd bedraagt: Δ x 149.597.870 / 299.792,458 x 1/86400 = 0,005775518304 graden x “v”.

Men kan dit voor het gemak uitdrukken in boogseconden door vermenigvuldiging met 3600”. Dit geeft dan :

(19)  Aberratie = 20,7919” x Δ x “v”

De factor 20,7919 wordt ook wel de “constant of aberration” genoemd.
Als wij dit voor de Zon toepassen in ons voorbeeld van 1 jan. 2000, dan hebben wij :

Δ = R = 0,983325829 au
“v” = 1,019426993 graden/dag

De aberratie bedraagt dan: 20,842”.

De mean geometric longitude is gelijk aan: λ = 280° 22’ 40,093 “ (zie artikel over de Zon)
De nutatie is gelijk aan : Δψ = -13,932”
De Tue Longitude is derhalve : λ (true) = 280° 22’ 26,161”
De Apparent Longitude is dan : λ(apparent) = 280° 22’ 05,319”

Voor de Maan is de aberratie niet zo groot. De afstand Δ is gemiddeld 0,025 au en de dagsnelheid gemiddeld 13,5° /dag. De aberratie is dan ongeveer 20,7919 x 0,025 x 13,5 = 0,71 boogseconden.

Dit betekent dat de Apparent Maan ca. 0,71” eerder in de zodiak staat dan de True Maan.

Voor het bewegingsvolle planeetje Mercurius, die ook retrograde kan staan, kan de aberratie negatief of positief zijn en in de grootte enorm verschillen. De Apparent positie kan dus enorm afwijken van de True positie, al naar gelang zijn stand aan de hemel.

Naar boven

Berekening van de geocentrische snelheid – retrogradatie 

Elders in deze website treft u drie lange artikelen aan over de invloed van retrograde planeten in de horoskoop met daarbij ook flink wat astronomische uitleg. Hierbij de link naar het eerste artikel: 
 http://home.kpn.nl/jligteneigen/Lessen/Retrograde/Retro1.html

Om vast te stellen of planeten retrograde lopen, zult u de geocentrische snelheid moeten bepalen. Als deze groter is dan nul dan loopt de planeet vooruit, prograde genoemd. Is de snelheid kleiner dan nul, dan loopt de planeet retrograde. Is de snelheid nul of zeer dicht daarbij i  de buurt, dan is de planeet stationair. De planeet is dan bezig van richting te veranderen (van retrograde naar prograde of omgekeerd). Puur rekenkundig gezien is de toestand stationair slechts één kort moment, maar in een horoskoop kan dit proces enkele jaren van een mensenleven in beslag nemen aangezien de progressieve snelheid bijzonder klein is en de effecten pas goed merkbaar worden als de planeet weer enige snelheid maakt en van zijn stationaire positie wegloopt.

U heeft de ecliptische geocentrische lengte leren berekenen via formule (14) :

(14) λ = arc.tan (η / ξ)

De snelheid van deze lengte krijgt u door de vergelijking te differentiëren. De wiskundige afgeleide van arctan(x) is gelijk aan : 1/(1+x2).dx
De afgeleide van arc.tan (η / ξ) is dan :

(20)  d.λ = 1/( 1 + [η/ ξ]2 ) x d.( η / ξ)

Het eerste deel van de vergelijking is al klaar. Het tweede deel, dus d.( η / ξ) moet nog uitgewerkt worden.
Van een wiskundige functie y= f/g geldt dat de afgeleide d.y gelijk is aan : (f’.g – f.g’) / g2
Hierbij geeft de apostrof de afgeleide aan van f of g

d.( η / ξ) is dan gelijk aan : (η’. ξ -  η. ξ2 ) / ξ2

De totale afgeleide van de lengte λ wordt dan :

d. λ =  

Het linkerdeel, voor het maal-teken kunnen wij ook anders schrijven :

 =      =      =   

(21) d. λ wordt dan :       x  =

U weet wellicht nog dat :
ξ = X(zon) + x(merc)
η = Y(zon) + y(merc)

In analogie geldt dan ook :

d.ξ = ξ’ = d.X(zon) + d.x(merc)
d.η = η’ = d.Y(zon) + d.y(merc)

Met deze vier laatste vergelijkingen kunt u nu de geocentrische snelheid zeer nauwkeurig berekenen. Dit is de meest nauwkeurige formule die denkbaar is om de dagsnelheid van een planeet uit te rekenen. Merk tevens op dat uitsluitend X, Y, d.X en d.Y nodig zijn voor zowel de Zon als de planeet in kwestie. En dat is logisch want de retrogradebepaling speelt zich alleen maar af in het vlak X,Y.

In ons voorbeeld van 1 jan. 2000, 12H TT geldt:
d.x(merc) = 0,021520548
d.y(merc) = -0,005926200
d.X(zon) = 0,017180371
d.Y(Zon) = 0,003309355

ξ = 0,047035309     = X(Zon) + x(merc)
η = -1,414524875   = Y(Zon) + Y(merc)
d.
ξ = 0,038700919  = d.X(Zon) + d.x(merc)
d.
η = -0,002616845   = d.Y(Zon) + d.y(merc)

Voor de snelheid van de geocentrische lengte geldt dan :

d.λ = -0,002616845x0,047035309 – (-1,414524875)x0,0388700919 / 0,0470353092 + (-1,414524875)2

Dit is gelijk aan : 0,054620328 / 20,,3092942 = 0,027267994 radiaal per dag
Dit is weer gelijk aan 1,56234102° per dag = 1° 33’ 44,43” per dag.

De DE406 geeft ons de volgende resultaten:

Stand dag-2 – Stand dag-1 = 1°33’ 32,38” per dag. Dit komt al in de buurt. Beter is het om de standen voor een kleiner interval op te vragen, zoals hieronder per uur.

Het verschil tussen stand-2 en stand-1 is nu 0°3’ 53,45” x24 = 1°33’22,8” per dag
Wanneer wij een nog kleiner interval nemen,zeg 10 minuten vóór en ná 12 uur TT, dan krijgen wij :

Het verschil tussen stand-2 en stand-1 is nu : 0°1’ 17,82” x 72 = 1°33’ 22,8” per dag.
Dit is de juiste snelheid van Mercurius op 1 jan. 2000 om 12h TT.

Onze eigen berekende snelheid ligt hier 21,63 boogseconden per dag uit de buurt. Dit verschil ontstaat door de geometrische verhoudingen in de banen van Aarde en Mercurius. Omdat beide lichamen redelijk dicht bij elkaar in de buurt staan, is verhoudingsgewijs de onderlinge snelheidsverhouding groot.

Naarmate de Aarde en een andere planeet verder uit elkaar staan, zoals bij Aarde en Jupiter bijvoorbeeld, dan zal dit geometrische effect veel minder zijn en de precisie van de dagsnelheid stukken beter.

Alsnog is hier de verhouding 21,63” / 1°33’22,8” nog vrij goed, nl. 0,003854 dag = 0,0925 uur = 5,5 minuten.

Aangezien d.λ hier groter is dan nul, loopt Mercurius op 1 jan. 2000 vooruit ofwel heeft een prograde gang in de zodiak.  

Naar boven

Samenvattend toon ik hier alle gegevens die wij in dit artikel hebben leren berekenen voor Mercurius op 1 januari 2000 om 12:00 TT volgens de theorie van de heren Bretagnon / Simon 2  

Gegeven

Eigen berekeningen

Volgens DE406

Hel. Lengte

253°.46'.55,854"

253°.46'.58,5407"

Hel. Breedte

-3°.01'.15,49"

-3°.01'.21,9518"

Hel. Radius vector

0,46646964 au

0,466471475 au

Hel. X

-0,130099132 au

-0,130093603 au

Hel. Y

-0,447284905 au

-0,447287619 au

Hel. Z

-0,02458362 au

-0,02459831 au

Snelh. hel. Lengte

2°.44'.42,17" per dag

2°.44'.39,33" per dag

Snelh. hel. Breedte

-0°.18'.14,21" per dag

-0°.18'.13,05" per dag

Snelh. hel. Radius

0,000352232 au per dag

 

d.x

0,021520548 au per dag

0,021545797 au per dag

d.y

-0,00592600 au per dag

-0,005793493 au per dag

d.z

-0,00249119 au per dag

-0,002450833 au per dag

ξ

0,047035309 au

 

η

-1,414524875 au

 

ζ

-0,02458362 au

 

d.ξ

0,038700919 au per dag

 

d.η

-0,002616845 au per dag

 

Geocentr. Lengte, λ

271°.54'.16,12"

271°.54'.17,0027"

Geocentr. Breedte, β

-0°.59'.42,42"

-0°.59'.43,95"

Geocentr. Afstand, Δ

1,415520151 au

1,415524967 au

Geocentr. Rechte Kl.

18h.08m.21,9281s

18h.08m.21,99418s

Geocentrische Decl. δ

-24°.25'.14,10"

-24°.25'.15,6199"

Aberratie

20,842 “

 

Geocentr. Snelh.lengte

1°.33'.44,43" per dag

1°.33'.22,8"per dag

U ziet dat de theorie van Bretagnon / Simon erg mooie resultaten geeft voor Mercurius. Over een groot tijdvak zijn de resultaten nog steeds erg mooi te noemen, zoals de eerder vertoonde grafiek die loopt van 2900 v. Chr. tot 500 na Chr.

Het is om deze reden dat ik bovenstaande theorie heb toegepast voor de berekeningen in mijn programma Newcomb-V3. Er bestaan vrijwel geen horoskopen cq. betrouwbare geboortedata en –tijden in dit tijdvak. De berekeningen mogen daarom dan ook een beetje minder precies zijn. Voor historisch onderzoek is deze theorie zelfs een perfecte theorie. Het officiële geldigheidsbereik ligt volgens de heren Bretagnon / Simon tussen 4000 v. Chr. en 8000 na Chr.

De officiële referentie-efemeride DE406, die het langste bereik kent onder de DE-efemeriden (nl. van 3000 v. Chr. tot 3000 na Chr.) kan dus geen controles geven tussen de jaren 4000 v. Chr. en 3000 v. Chr en van 3000 na Chr. tot 8000 na Chr. Wij zullen de heren dus moeten geloven voor zover de nauwkeurigheid van de theorie.  

Onderstaande grafiek geeft nog een keer de toegepaste nauwkeurigheden binnen Newcomb-V3 voor het tijdvak 3000 voor Chr. en 50 na Chr.

Voor het tijdvak 500 na Chr. en 2500 na Chr. wordt de theorie IPS2000 toegepast binnen Newcomb-V3, die overal fantastische resultaten laat zien in de orde van 0,005 boogseconden, berekend voor de epoch J2000.
Het is alleen de precessie van de equinox die hier wat roet in het eten gooit. De resultaten uit IPS2000 moeten namelijk worden omgezet van de epoch J2000 naar de werkelijke datum. Hoe verder die datum af ligt van J2000 des te groter worden de afwijkingen in de posities.

Gelukkig valt een en ander nog heel erg mee. Rond het jaar 500 na Chr. is de precisie ca. 0,12 boogseconden en deze neemt snel toe. Rond het jaar 1000 na Chr. is de nauwkeurigheid al gestegen tot ca. 0,01 boogseconden en vanaf het jaar 1500 tot 2500 blijft de nauwkeurigheid rond de 0,005 boogseconden schommelen, met op veel datums een nóg betere nauwkeurigheid in de orde van 0,002 boogseconden.

Naar boven

Aantal test-berekeningen in Newcomb-V3   

Deze fantastische resultaten vergen enorm veel berekeningen in het programma Newcomb-V3.. Zo worden voor de geocentrische lengte en declinatie uiteindelijk ruim 18.000 berekeningen gemaakt, bestaande uit ruim 10.000 berekeningen voor de Zon (positie en snelheidscomponenten), ruim 7600 berekeningen voor Mercurius (positie en snelheidscomponenten) en ca. 200 berekeningen om allerlei omzettingen.
Voor alle tests via de theorie IPS2000 zijn berekeningen gemaakt voor de volgende perioden:

510 - 610 na Chr. 100 jaar, elke 1 dag v.h. jaar 18.100 x 100 = 1.810.000 berekeningen
1000 - 1100 na Chr. 100 jaar, elke 1 dag v.h. jaar 18.100 x 100 = 1.810.000 berekeningen
1500 - 1600 na Chr. 100 jaar, elke 1 dag v.h. jaar 18.100 x 100 = 1.810.000 berekeningen
1700 - 1800 na Chr. 100 jaar, elke 1 dag v.h. jaar 18.100 x 100 = 1.810.000 berekeningen
1900 - 2000 na Chr. 100 jaar, elke 1 dag v.h. jaar 18.100 x 100 = 1.810.000 berekeningen
2006- 2106 na Chr. 100 jaar, elke 1 dag v.h. jaar 18.100 x 100 = 1.810.000 berekeningen
Totaal 600 jaren testdatums 10.860.000 berekeningen

Voor de periode 3000 voor Chr. tot 500 na Chr. en de jaren 2500 tot 3000 na Chr. zijn via de theorie van Bretagnon / Simon de volgende aantallen berekeningen gemaakt:

2500 - 2400 v. Chr. 100 jaar, elke 1 dag v.h. jaar 800 x 100 = 80.000 berekeningen
2000 - 1900 v. Chr. 100 jaar, elke 1 dag v.h. jaar 800 x 100 = 80.000 berekeningen
1500 - 1400 v. Chr. 100 jaar, elke 1 dag v.h. jaar 800 x 100 = 80.000 berekeningen
1000 - 900  v. Chr. 100 jaar, elke 1 dag v.h. jaar 800 x 100 = 80.000 berekeningen
500 - 400 v. Chr. 100 jaar, elke 1 dag v.h. jaar 800 x 100 = 80.000 berekeningen
0 - 100 na Chr. 100 jaar, elke 1 dag v.h. jaar 800 x 100 = 80.000 berekeningen
2500 - 2600 na Chr. 100 jaar, elke 1 dag v.h. jaar 800 x 100 = 80.000 berekeningen
2800 - 2900 na Chr. 100 jaar, elke 1 dag v.h. jaar 800 x 100 = 80.000 berekeningen
Totaal  800 jaren testdatums 640.000 berekeningen

 

In totaal zijn met het programma Newcomb-V3 ruim 11,5 miljoen berekeningen gemaakt om alle testresultaten te vergelijken met de referentie-efemeride DE406. Dit is dan ook nog inclusief alle spreadsheets om de resultaten grafisch weer te geven.

Naar boven

 

Resultaten voor Geocentrische lengte en declinatie voor Mercurius in Newcomb-versie3 voor de periode 3000 v. Chr tot 3000 na Chr. aan de hand van de drie gebruikte theorieën.   

Tenslotte heb ik hieronder enkele grafische overzichten geplaatst van de resultaten van de testberekeningen over de gehele periode 3000 voor Chr. tot 3000 na Chr. Dit geeft u dan een totaal overzicht van de nauwkeurigheden van het programma Newcomb-V3 wat betreft de planeet Mercurius.

A) De periode 3000 v. Chr. tot 500 na Chr. Lengte en Declinatie - Theorie: Bretagnon / Simon

B) Periode 510-610 na Chr. Lengte. Theorie: IPS2000

C) Periode 1000-1100 na Chr. Lengte en Declinatie. Theorie: IPS2000

D) Periode 1500-1600 na Chr. Lengte en Declinatie. Theorie: IPS2000

E) Periode 1700-1800. Lengte en Declinatie. Theorie: IPS2000

F) Periode 2800-2900 na Chr. Lengte en Declinatie. Theorie : VSOP87

Hiermee komt dit bijzonder lange artikel over de berekeningen van de positie van Mercurius dan tot een einde.

Naar boven

Literatuurverwijzingen: 

1. "Astronomical Papers prepared for the use of the American Ephmeris and Nautical Almanac, Vol 6, No. 2Tables of the four inner
    planets, Tables of the Heliocentric Motion of Mercury", Simon Newcomb, Washington 1898
2. "Planetary Programs and Tables from -4000 to +2800", Pierre Bretagnon, Jean-Louis Simon, Willmann-Bell Inc.1986
3. "Presentation of new Solar and planetary tables of interest for historical calculations", Bretagnon, P., Simon, J.L., Journal for
    the history of astronomy XVII, 39-50 (1986)
4. "Practical Astronomy with your Calculator", Peter Duffett-Smith, Cambridge University Press, 1979
5. "Astronomical Formulae for Calculators", Jean Meeus, Volkssterrenwacht Urania Brussel, mei 1979
6. Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac, Ed. P. Kenneth Seidelmann, US Naval Observatory, Washington DC
    University Science Books, 1992
    

© J. Ligteneigen, opgemaakt in de periode november / december 2006

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T:

hit counter

 

 

______________________________________________________________

Pagina voor het laatst bewerkt op / Page maintained on: Seite bearbeitet am:   08/01/2011