ASTROLOGISCH PROGRAMMA

NEWCOMB - VERSIE-3 en 4

De astronomische positie van Jupiter

 

Menu 

 

Home

 

Newcomb-V3  info

 

Mail

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Home >NewcombV3>Newcomb3_jup.html

De astronomische positie van de planeet Jupiter

Inleiding.

Het programma Newcomb dankt zijn naam aan één der grootste astronomen van zijn tijd, Simon Newcomb aan wie een aparte pagina op deze website gewijd is.
Een van Newcomb's hoogste doelstellingen was het bereiken van een enorme precisie voor de posities van de Zon, Maan en planeten, gebruikmakend van de gegevens en theorieën in zijn tijd. Tot en met het jaar 1984 werden zijn formules gebruikt voor het maken van astronomische- en astrologische efemeriden. Ook de bekende "American Ephemeris" van Neil F. Michelsen is hierop gebaseerd, zoals in het voorwoord van deze efemeride staat vermeld.

Als ultieme waardering voor Simon Newcomb's werk heb ik mijn eigen programma dan ook Newcomb gedoopt en ben ik in zijn voetspoor getreden om ook een ultieme precisie te bereiken voor de standen van Zon, Maan en planeten en nog meer. Mijn onderzoek strekte zich uit van 2002 tot en met heden en in die periode heb ik vele honderdduizenden tests uitgevoerd.

Eindelijk is de tijd daar om u de resultaten te tonen van vele jaren intensief werk. Op deze pagina treft u het volgende aan met betrekking tot de berekeningen van de positie van de planeet Jupiter over de periode 4000 v.Chr. tot 8000 na Chr.

J. Ligteneigen



Inhoudsopgave   

  1. Introductie
  2. Planeettheorie volgens J.L. Simon, F. Joutel en P. Bretagnon (gebruikt in Newcomb Versie-3 en 4).
  3. Planeettheorie volgens VSOP87. (gebruikt in Newcomb Versie-3 en 4).
  4. Planeettheorie volgens IPS2000. (gebruikt in Newcomb Versie-3 en 4).
  5. Literatuurverwijzingen.


Introductie         


U heeft in het zeer uitgebreide artikel over de berekeningen van de positie van de planeet Mercurius voor enig moment in de tijd vrijwel alle vermeldenswaardigheden rond de berekening van de positie van een planeet kunnen lezen. Daarbij is aan de hand van een voorbeeld (1 jan. 2000, 12h TT) een complete uiteenzetting gegeven over onder andere: heliocentrische lengte, -breedte en –radiusvector, heliocentrische ecliptische coördinaten X, Y en Z, de snelheidscomponenten van alle heliocentrische variabelen λ, β, r, X, Y en Z, geocentrische ecliptische lengte, -breedte en –afstand, aberratie, dagsnelheid (retrograde of niet), Rechte Klimming en declinatie. Dit alles werd gedaan aan de hand van de planetaire theorie van de heren P. Bretagnon en J.L. Simon3+4

In dit artikel over de berekeningen van de positie van de planeet Jupiter zal ik redelijk kort zijn. Ten eerste omdat de gehele theorie van planeetberekening bij de verhandeling over Mercurius al aan de orde kwam, maar ten tweede door gebrek aan tijd. Het verder programmeren aan Newcomb versie4 neemt veel tijd in beslag en om alles rond september 2009 gereed te hebben, moeten er keuzes gemaakt worden. Ik zal mij daarom verder beperken tot een korte uitleg van het drietal planetaire theorieën die worden gebruikt in het programma Newcomb Versie-3 en 4.

De tot 1983 toegepaste theorie van Simon Newcomb was eenvoudigweg té onnauwkeurig geworden voor zowel de lange termijn (enkele duizenden jaren voor historisch onderzoek) als voor de korte termijn (minder dan 100 jaar voor ruimtemissies en nieuwe planeettheorieën).
De nieuw ontwikkelde planeettheorieën waren de theorieën VSOP (Variations Séculaires des Orbites des Planètes)  VSOP82 door P. Bretagnon1 en het verbeterde VSOP87 door P. Bretagnon en G. Francou2.

In de daarop volgende jaren werden diverse andere theorieën ontwikkeld, ook met name voor de gasplaneten Jupiter tot en met Neptunus, zoals de theorie TOP82 door J.L. Simon3. Ook werden individuele theorieën voor 1 enkele planeet opgesteld. Later werd de theorie IPS2000 ontwikkeld naar aanleiding van de verbeterde waarnemingen aan planeten door diverse ruimtemissies. Door deze verbeterde waarnemingen konden ook de massa's van de planeten nauwkeuriger worden vastgesteld en dit betekende op zijn beurt weer dat diverse planetaire theorieën moesten worden bijgesteld. Uit dit alles kwam dan de theorie IPS2000 voort (Improved Planetary Systeem).

Deze theorieën hebben elk hun specifieke geldigheidsbereik, waarbinnen de gegeven nauwkeurigheid gegarandeerd blijft. Gaat men echter buiten dit geldigheidsbereik (in jaren gezien), dan daalt de nauwkeurigheid. Soms is de daling gering, andere keren is deze drastisch. Binnen mijn programma Newcomb Versie-3 en 4 worden de volgende theorieën voor de berekening van Jupiter toegepast:

A) Voor de periode 4000 v. Chr. tot het jaar 0:          de theorie van J.L. Simon, F. Joutel en P. Bretagnon4
B) Voor de periode 0 tot het jaar 500 na Chr. :         de theorie VSOP872.
C) Voor de periode 500 na Chr. tot 2500 na Chr.:     de theorie IPS2000
.
D) Voor de periode 2500 na Chr. tot 3000 na Chr. :  de theorie VSOP87
2
E) Voor de periode 3000 na Chr. tot 8000 na Chr.:   de theorie van
J.L. Simon, F. Joutel en P. Bretagnon4 

Het gaat hier dus om in totaal drie theorieën. De nauwkeurigheden en aantallen storingstermen worden per theorie hierna nader verklaard.

begin


A) De periode 4000 v. Chr. tot het jaar 0  volgens de theorie van Simon, Joutel en Bretagnon

Deze zéér speciale en mooie theorie vond ik tijdens mijn vele en lange speurtochten in de bibliotheek van de universiteit van Leiden, afd. astronomie. Het is een theorie voor het systeem Zon - Jupiter - Saturnus - Uranus - Neptunus, waarbij in het betreffende artikel4 alleen een uitgewerkte tabel voor Jupiter wordt gegeven. De heliocentrische Lengte, Breedte en Radiusvector worden daarbij eerst via een formule op "voorlopige" wijze berekend, waarna via een Poisson-serie de verstoringen worden berekend op de reeds genoemde grootheden. De door de auteurs gevonden oplossing wordt JSUN1 genoemd.  Hiermee wordt volgens de auteurs de volgende precisie bereikt, waarbij J2000 de Epoch J2000 voorstelt (1-jan.2000):

Van Tot Precisie in boogseconden(")
J2000 - 1000 jaar J2000 + 1000 jaar 1
J2000 - 2000 jaar J2000 + 2000 jaar 2,5
J2000 - 4000 jaar J2000 + 4000 jaar 3
J2000 - 6000 jaar J2000 + 6000 jaar 11,5

Deze bijzonder lange periode van 12.000 jaar (!!) wordt op bijzonder mooie manier afgedekt door de planetaire theorie van de genoemde heren. Elke planetaire theorie wordt door de volgende eigenschappen gekenmerkt:

A) Een langere tijdsperiode met een beperkte nauwkeurigheid.
B) Een kortere tijdsperiode met een hoge nauwkeurigheid.

De tabel die de auteurs in het artikel presenteren, bevat 65 regels en elke regel bevat een Poisson-correctie op de Hel. Lengte, -Breedte en -Radius. Hiermee wordt niet de extreem grote precisie bereikt van de volledige theorie, maar het is een subset die een mindere precisie kent, maar alsnog ruim voldoende voor een praktisch gebruik in een astrologieprogramma. Diverse tests met het programma Newcomb Versie-3 in de vroege periode (3000 v.Chr. tot 500 na Chr.) in vergelijking met de ultieme referentie-efemeride DE406 (geldig van 3000 BC tot 3000 AD) geeft het volgende nauwkeurigheidsverloop van de geocentrische lengte:

De tijdsperiode 2500 voor Chr. geeft qua geocentrische lengte voor Jupiter het volgende beeld:

De afwijkingen voor de lengte van Jupiter zijn in de orde van tussen de 40 en 80 boogseconden, ofwel tussen 40" en 1' 20" . Het is wellicht veel ten opzichte van de kleinere planeten Mercurius, Venus en Mars in dezelfde tijdsperiode, maar u moet bedenken dat de storingsrekening voor de grote gasplaneten veel ingewikkelder is dan voor de kleinere planeten. Voor het praktische gebruik is het geen enkele beperking, want er bestaan eenvoudigweg geen horoskopen uit deze tijdsperiode. De planeetstanden kunnen hooguit worden gebruikt voor algemene analyses van planeten in tekens en grote trends.

Rond het jaar 1000 voor Chr. ziet het overzicht van de precisie in lengte er als volgt uit:

De nauwkeurigheid is al aanzienlijk toegenomen tot een fluctuatie tussen de -10 en +10 boogseconden over dit interval van 100 jaar.

De bijbehorende grafiek van de declinatie van Jupiter rond 1000 voor Chr. ziet er als volgt uit:

Hier zien wij de fluctuaties die steeds tussen de -60 en -40 boogseconden liggen, met hier een daar een uitschieter naar de plus 50 boogseconden. Veiligheidshalve kan men een onzekerheid aannemen tussen de -1 boogminuut en de +1 boogminuut voor de declinatie, hetgeen alsnog een mooie nauwkeurigheid is voor een dergelijke tijdsperiode uit het verre verleden.

begin:

 

B) Voor de periode 0 tot 500 na Chr. : berekeningen volgens de theorie VSOP87 

De theorie van Simon, Joutel en Bretagnon had ik kunnen voortzetten tot aan het jaar 500 na Chr., maar de andere theorie VSOP87 biedt in dat interval een betere precisie. De VSOP87-theorie kent grote reeksen met storingstermen, waarvan de tabel hieronder een overzicht geeft.

 

Termen in X

Termen in Y

Termen in Z

Functie van T

1272 1272 216

Functie van T1

638 638 124

Functie van T2

358 358 68

Functie van T3

190 190 39

Functie van T4

73 73 11

Functie van T5

15 15 5

Totaal

2546 2546 463

Totaal5555 termen

 

 

 

Ook hier ziet u een zeer groot aantal correctietermen voor de heliocenrische X, Y en Z-coördinaat. De termen in "Z" hebben voornamelijk invloed op de berekende heliocentrische breedte van Mars, terwijl de termen in "X" en "Y" samen bepalend zijn voor de heliocentrische lengte. Door deze X, Y en Z ook voor de Aarde te berekenen, kan uiteindelijk via geometrie de Geocentrische coördinaten X, Y en Z bepaald worden. Daaruit volgen dan weer de Geocentrische Lengte en Breedte, plus Rechte Klimming en Declinatie die voor de uiteindelijke horoskoop van belang zijn.

De uiteindelijke resultaten van alle berekeningen zijn voor enkele tienduizenden tests gemaakt gedurende mijn testperiode in de jaren 2002 tot 2007 en u vindt hieronder een greep uit de resultaten via grafiekjes voor diverse tijdsperioden. Bij elke grafiek ziet u op de Y-as het verschil tussen de berekeningen in Newcomb en de resultaten uit de meest nauwkeurige efemeride DE406.

De grafiek met nauwkeurigheden voor de lengte van Jupiter in het tijdvak 1 na Chr. tot 100 na Chr.:

Nu begint de nauwkeurigheid zich te stabiliseren en ligt op een niveau tussen de 3,5" en 2,5 " (boogseconden), hetgeen dan al een schitterend resultaat is en hiermee kunnen alle horoskopen uit de Griekse en Romeinse tijd met een grote precisie worden nagerekend.

Voor de declinatie van Jupiter vindt u hieronder een grafiekje voor de tijdsperiode rond het begin van de jaartelling:

Ook hier wordt een mooi zich stabiliserend beeld getoond. De fluctuaties zijn van een grote frequentie, maar zij blijven allemaal tussen een nauwkeurigheid van tussen de -1,5" en + 1,5 " (boogseconden), hetgeen voor Declinatie een formidabele precisie is

C) Voor de periode 500 na Chr. tot 2500 na Chr. : volgens de theorie IPS2000   


De periode 500 na Chr. tot 2500 na Chr. omvat 99,9% van alle denkbare en bruikbare horoskopen. Nog mooier is het dat voor al deze horoskopen ongelooflijk nauwkeurige berekeningen gemaakt kunnen worden, waarvan u hieronder enkele voorbeelden kunt gaan zien.

Al deze berekeningen gaan volgens de theorie IPS2000 (Improved Planetary System). Deze theorie is een voortzetting van VSOP87 met verbeterde massa’s voor de planeten volgens IERS2002 en een hoog ontwikkelde wiskundige storingsrekening, rekening houdend met de Newton gravitatie van de Maan en de planeten tot en met Neptunus. Deze berekeningen worden gemaakt binnen het raamwerk van IPS2000, geldend voor de epoch J2000. Daarna worden de resultaten naar een ander raamwerk, maar ook voor J2000 getransformeerd. De heliocentrische coördinaten voor J2000 worden via nauwkeurige precessieformules omgezet naar de heliocentrische coördinaten van datum.  
Deze berekeningen worden uitgevoerd voor Mars en voor de Aarde voor hetzelfde tijdsmoment. Van beide hemellichamen worden de heliocentrische X, Y en Z coördinaten berekend en van hieruit worden dan de geocentrische posities berekend.

Het aantal termen voor de storingsrekening is zeer groot, maar de bereikte precisie is de meest nauwkeurige ooit behaald. In onderstaande tabel vindt u per X, Y en Z coördinaat het aantal storingstermen.

 

Termen in X

Termen in Y

Termen in Z

Functie van T

1055 1037 216

Functie van T1

631 640 216

Functie van T2

255 259 65

Functie van T3

140 136 27

Functie van T4

58 60 10

Functie van T5

11 11 3

Totaal

2150 2143 537

Totaal4830 termen

 

 

 

Het grote aantal termen voor Jupiter komt voort uit het feit dat Jupiter relatief dichtbij de andere grote gasplaneten ligt, die allemaal een zeer grote massa hebben en dus zijn hun gravitatiekrachten van grote invloed. Met name de wisselwerking tussen Jupiter en Saturnus is hierin van enorm belang en dit was reeds eeuwenlang een groot thema binnen de astronomie.

De termen in "Z" hebben voornamelijk invloed op de berekende heliocentrische breedte van Mars, terwijl de termen in "X" en "Y" samen bepalend zijn voor de heliocentrische lengte. Door deze X, Y en Z ook voor de Aarde te berekenen, kan uiteindelijk via geometrie de Geocentrische coördinaten X, Y en Z bepaald worden. Daaruit volgen dan weer de Geocentrische Lengte en Breedte, plus Rechte Klimming en Declinatie die voor de uiteindelijke horoskoop van belang zijn.

De uiteindelijke resultaten van alle berekeningen zijn voor enkele tienduizenden tests gemaakt gedurende mijn testperiode in de jaren 2002 tot 2007 en u vindt hieronder een greep uit de resultaten via grafiekjes voor diverse tijdsperioden. Bij elke grafiek ziet u op de Y-as het verschil tussen de berekeningen in Newcomb en de resultaten uit de meest nauwkeurige efemeride DE406.

De periode 1900-2000 voor de geocentrische lengte van Jupiter:

Vrijwel alle berekende Geocentrische Lengten zijn nauwkeurig tussen -0,004 en +0,04boogseconden!! In zeer veel jaren zijn de nauwkeurigheden zelfs tussen de 0 en 0,002 boogseconden!! Met een dergelijke precisie zou een ruimtevaartuig naar Jupiter een landing kunnen uitvoeren met een nauwkeurigheid van 7,2 kilometer, en dat op een gemiddelde afstand van 750 miljoen kilometer vanaf de Aarde!

Feitelijk kunnen met deze nauwkeurigheid voorspellingen op enkele minuten na gemaakt worden, maar de astrologische theorieën zelf bieden nog te weinig houvast voor dergelijke berekeningen. Wij mogen al blij zijn als zaken op de dag nauwkeurig lopen, hetgeen ook zeer vaak het geval is, zoals de dood van Milosevic op 1 dag nauwkeurig en de vele persoonlijke horoskopen die zeer vaak op 1 dag nauwkeurig lopen.

De declinaties van Jupiter, voor de periode 1900-2000 na Chr.

Vrijwel alle declinaties zijn nauwkeurig in een interval tussen -0,002 en + 0,002 boogseconden! Dit is een ongeëvenaarde precisie binnen astrologieprogramma's. Een paar uitschieters geven nauwkeurigheden tot 0,0038 boogseconde.

Voor de wat oudere horoskopen, de periode 1700-1800 - Geocentrische Lengte van Jupiter.

Hier ligt ruim 98% van de berekeningen van de lengte tussen -0,006 en + 0,006 boogseconde. Af en toe is er een uitschieter, maar die bedraagt maximaal 0,01 boogseconde verschil met de meest nauwkeurig efemeride, DE406. De meeste astrologische efemeriden bieden een nauwkeurigheid tot op 3" door de afrondingen die ze moeten doen voor de publicaties op 1 bladzijde.


Een stukje verder terug in de historie: horoskopen in de Middeleeuwen.

Hoe verder wij teruggaan in de tijd, des te sterker wordt de invloed van de precessie. De uitkomsten van de IPS2000-berekeningen worden namelijk tenslotte herrekend naar het actuele jaar van de horoskoop via precessieformules. Deze zijn nog niet volmaakt en worden met zekere regelmaat herzien. Echter de officieel door de IAU gepubliceerde precessie dateert uit 1976 en deze wordt dan ook gehanteerd.
Alsnog zijn de nauwkeurigheden van de lengten van Jupiter in het tijdvak 1000-1100 schitterend te noemen: maximaal 0,065 boogseconden!!

Tenslotte de huidige eeuw: 2000-2100:

De getallen spreken voor zich. Nergens zijn de afwijkingen groter dan 0,006 boogseconden. In zeker 95% van de gevallen ligt de precisie tussen de -0,004 en + 0,004 boogseconden.

D) Voor de periode 2500 na Chr. tot 3000 na Chr. volgens de theorie VSOP87 

Om maximale nauwkeurigheid te verkrijgen is de gehele tijdlijn verdeeld in stukken. Op elk stuk van de tijdlijn worden de berekeningen gedaan door een bepaalde theorie die daar het meest voor in aanmerking komt. De geldigheid van de IPS2000-theorie loopt tot het jaar 2500 na Chr., dus ná deze tijd moet een andere theorie dit "gat" opvullen. Hiervoor is de theorie van VSOP87 het best geschikt, aangezien de nauwkeurigheden vrij groot zijn in dit tijdvak.

De nauwkeurigheid van de geocentrische lengte van Jupiter tussen 2800 en 2900 na Chr.

De grotere afwijkingen ontstaan doordat de VSOP87-theorie wordt gebruikt búiten het toegestane interval. Alsnog is bij deze uitschieters de maximale afwijking ca. 1 boogseconde in de lengte van Jupiter.

Nauwkeurigheid van de declinatie Jupiter in de tijdsperiode 2800 - 2900 na Chr.

In deze grafiek ziet u de steeds groter wordende fluctuaties optreden,als gevolg van de overschrijding van de geldigheidsperiode binnen de VSOP87-theorie. Maar ook hier zijn de resultaten nog steeds geweldig! Maximale afwijking is hier 0,3 boogseconde in de declinatie!!


E) Voor de periode 3000 na Chr. tot 8000 na Chr. volgens de theorie van Simon, Joutel en Bretagnon 

De theorie VSOP87 heeft zijn eigen geldigheidsbereik en deze ligt tussen 1544 en 2350 na Chr., maar werd "verlengd" gebruikt tot aan het jaar 3000 na Chr. Ná deze periode heb ik de theorie van Simon, Joutel en Bretagnon4 gebruikt, zoals ook voor de hele vroege tijdsperiode. Uiteraard gaat de nauwkeurigheid wel achteruit, maar aan de andere kant is deze periode zó ver weg, dat de behoefte aan nauwkeurigheid ook wel wat minder mag zijn.

Vergelijken van de berekeningen met een referentie-efemeride DE40x gaat niet meer, want de DE406 heeft ook zijn eigen geldigheidsbereik die loopt tussen 3000 v. Chr. en 3000 na Chr. Dit hangt weer samen met een consistente theorie voor de Zon en de Maan die elk hun eigen geldigheidsperioden kennen. Feitelijk is elke planeettheorie afhankelijk van de theorie voor Zon en Maan. Dus binnen de consistenties van de DE406 zijn alleen de planeettheorieën geldig die ditzelfde bereik kennen, anders is een vergelijking niet mogelijk.

Hoe is het dan mogelijk dat Simon, Joutel en Bretagnon hun theorieën hebben kunnen opstellen voor de periode 3000 tot 8000 na Chr.? Elke planeettheorie heeft ook zijn eigen "interne precisie" die gebaseerd is op de aannames van de theorie. Startwaarden voor formules e.d. zijn ontleend aan de waarnemingen die over een hele lange periode zijn gedaan. Op deze wijze is het "beste gemiddelde" aangenomen, waarmee deze theorie alsnog kon worden getoetst aan observaties van heel lang geleden, maar ook aan observaties van het heden die tegenwoordig zo nauwkeurig zijn. Door al deze afwijkingen zo nauwkeurig mogelijk te analyseren en er een soort van "grof gemiddelde" van te nemen, kan een formule dan voor een héle lange periode geldig zijn, maar hij boet dan wél aan nauwkeurigheid in. De genoemde heren geven zelf in hun artikel aan wat de nauwkeurigheden zullen zijn bij het volgen van de complete theorie.

Van Tot Precisie in boogseconden(")
J2000 - 1000 jaar J2000 + 1000 jaar 1
J2000 - 2000 jaar J2000 + 2000 jaar 2,5
J2000 - 4000 jaar J2000 + 4000 jaar 3
J2000 - 6000 jaar J2000 + 6000 jaar 11,5

De in het artikel gegeven tabel biedt echter een kleinere nauwkeurigheid, waarbij afwijkingen kunnen ontstaan die 10 keer groter zijn dan in de tabel wordt vermeld. Dit zou kunnen inhouden dat horoskopen, opgesteld voor het jaar 4000 na Chr. een onnauwkeurigheid hebben van ca. 25 boogseconden. Zelfs met deze "onnauwkeurigheden" mogen wij erg tevreden zijn, want (A) zullen wij waarschijnlijk nooit een horoskoop opstellen voor een datum in het jaar 4000 en (B) zullen wij voor deze verre tijden hooguit geïnteresseerd zijn in algemene standen, waarbij de hele graad zelf al voldoende informatie geeft.


Gezien al het bovenstaande kan geconcludeerd worden dat de programma's Newcomb Versie-3 en Versie-4 het absolute summum op het gebied van planeetnauwkeurigheid in zich herbergt. Er wordt géén gebruik gemaakt van de Swiss Ephemeris, alle formules zijn persoonlijk door de auteur geprogrammeerd EN getest met honderdduizenden tests in de periode 2900 voor Chr. tot 3000 na Chr. De wijze waarop die tests zijn gedaan, is uitgebreid toegelicht met voorbeelden in het artikel over de Zon.


Literatuurverwijzingen: 

  1. "Theorie du mouvement de l'ensemble des planètes (VSOP82)" Bretagnon, P., Astron. Astrophys. 114, 278 (1982).
  2. "Planetary Theories in retangular and sperical vaiables: VSOP87 solution", Bretagon, P., Francou, G., Astron. Astrophys. 202, 309 (1988)
  3. "Théorie du mouvement des quattre grosses planètes: Solution TOP82" J.L. Simon, Astron. Astrophys. 120, 197-202 (1983).
  4. "Calcul des perturbations mutuelles des quattre grosses planètes en fonction dúne seule variable angulaire", J.L. Simon, 
    F. Joutel, P. Bretagnon
    , Astron. Astrophys. 265, 308-323 (1992).
  5. "Planetary Programs and Tables from -4000 to +2800", Pierre Bretagnon, Jean-Louis Simon, Willmann-Bell Inc.1986
  6. "Presentation of new Solar and planetary tables of interest for historical calculations", Bretagnon, P., Simon, J.L., Journal for the history of astronomy XVII, 39-50 (1986)
        

Artikel geschreven in 2009,  © J. Ligteneigen 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

hit counter

______________________________________________

Pagina voor het laatst bewerkt op / Page maintained on:   08/01/2011