Newcomb-versie-3 en 4: De berekeningen van de positie van Mars

Het programma Newcomb dankt zijn naam aan één der grootste astronomen van zijn tijd, Simon Newcomb aan wie een aparte pagina op deze website gewijd is.
Een van Newcomb's hoogste doelstellingen was het bereiken van een enorme precisie voor de posities van de Zon, Maan en planeten, gebruikmakend van de gegevens en theorieën in zijn tijd. Tot en met het jaar 1984 werden zijn formules gebruikt voor het maken van astronomische- en astrologische efemeriden. Ook de bekende "American Ephemeris" van Neil F. Michelsen is hierop gebaseerd, zoals in het voorwoord van deze efemeride staat vermeld.

Als ultieme waardering voor Simon Newcomb's werk heb ik mijn eigen programma dan ook Newcomb gedoopt en ben ik in zijn voetspoor getreden om ook een ultieme precisie te bereiken voor de standen van Zon, Maan en planeten en nog meer. Mijn onderzoek strekte zich uit van 2002 tot en met heden en in die periode heb ik vele honderdduizenden tests uitgevoerd.

Eindelijk is de tijd daar om u de resultaten te tonen van vele jaren intensief werk. Op deze pagina treft u het volgende aan met betrekking tot de berekeningen van de positie van de planeet Mars over de periode 4000 v.Chr. tot 8000 na Chr.

U heeft in het zeer uitgebreide artikel over de berekeningen van de positie van de planeet Mercurius voor enig moment in de tijd vrijwel alle vermeldenswaardigheden rond de berekening van de positie van een planeet kunnen lezen. Daarbij is aan de hand van een voorbeeld (1 jan. 2000, 12h TT) een complete uiteenzetting gegeven over onder andere: heliocentrische lengte, -breedte en –radiusvector, heliocentrische ecliptische coördinaten X, Y en Z, de snelheidscomponenten van alle heliocentrische variabelen λ, β, r, X, Y en Z, geocentrische ecliptische lengte, -breedte en –afstand, aberratie, dagsnelheid (retrograde of niet), Rechte Klimming en declinatie. Dit alles werd gedaan aan de hand van de planetaire theorie van de heren P. Bretagnon en J.L. Simon³⁺⁴

In dit artikel over de berekeningen van de positie van de planeet Mars zal ik redelijk kort zijn. Ten eerste omdat de gehele theorie bij de verhandeling over Mercurius al aan de orde kwam, maar ten tweede door gebrek aan tijd. Het verder programmeren aan Newcomb versie4 neemt veel tijd in beslag en om alles rond september 2009 gereed te hebben, moeten er keuzes gemaakt worden. Ik zal mij daarom verder beperken tot een korte uitleg van het 4-tal planetaire theorieën, waarvan er drie worden gebruikt in het programma Newcomb Versie-3 en 4.

De planeettheorie van Simon Newcomb (alleen gebruikt in Newcomb versies 2 en 2A)

Tussen 1895 en 1898 publiceerde Simon Newcomb zijn theorie voor de berekening van de binnenplaneten Mercurius, Venus, Aarde en Mars. Het deel over de planeet Mars kunt u vinden in de APAE, Vol.6, No.4¹. In 1917 verscheen nog een correctie door Frank E. Ross² op de tabellen van Newcomb en dit betekende nog een flinke verbetering voor de berekende coördinaten.
Newcomb had deze uitgebreide theorie netjes in tabellen verwerkt, waarbij de storingstermen zijn uitgedrukt als een functie van de mean anomaly van Mars en de storende planeet in kwestie. Dit resulteerde uiteindelijk in 155 storingstermen in de heliocentrische lengte, 144 storingstermen in de heliocentrische breedte en 21 storingstermen in de heliocentrische radiusvector.

Deze theorie heeft stand gehouden tot 1983 en vrijwel alle efemeriden die gemaakt zijn tot 1984 hebben de theorie van Simon Newcomb gebruikt. Ook de bekende astrologische "American Ephemeris" onder redactie van N.F. Michelsen gebruikte deze planeettheorie. Ook in mijn eigen programma Newcomb versie2 en -2A heb ik deze theorie toegepast.
In de periode 1800 tot 2100 kan met de theorie van Simon Newcomb een nauwkeurigheid van ca. 1 à 2 boogseconden behaald worden. Dit mooie resultaat werd bereikt door de noeste arbeid van Newcomb en zijn vele "calculators" die hij in dienst had. Dit is een absolute mijlpaal geweest in de geschiedenis van de astronomie.

Uiteindelijk gingen de ontwikkelingen in de wiskunde verder, nieuwe astronomische theorieën werden ontwikkeld en de ruimtevaart maakte vele nieuwe observaties mogelijk. De microtechnologie in elektronica die toegepast werd in veel apparatuur en de komst van de microcomputer en later de PC vanaf de jaren '80 veroorzaakten een ware revolutie op alle gebieden en raakvlakken van de astronomie. Natuurlijk maakte ook de hemelmechanica dankbaar gebruik van deze ontwikkelingen. Knappe koppen aan het Franse Bureau Des Longitudes, dat sinds 1795 werd opgericht om zich bezig te houden met astronomische problemen, ontwikkelden in de jaren '70 en '80 de VSOP-theorie (Variations Seculaire pour les Orbites des Planètes) voor de Zon en de planeten Mercurius tot en met Neptunus. Deze theorie heeft een zeer lange weg afgelegd tot heden. Vanaf de jaren '90 tot heden is de hoeveelheid ruimtemissies spectaculair gestegen en observaties met de beste telescopen tot op het 0,005 boogseconden-niveau voor de binnenplaneten werden mogelijk.

De tot 1983 toegepaste theorie van Simon Newcomb was eenvoudigweg té onnauwkeurig geworden voor zowel de lange termijn (enkele duizenden jaren voor historisch onderzoek) als voor de korte termijn (minder dan 100 jaar voor ruimtemissies en nieuwe planeettheorieën).

De nieuw ontwikkelde planeettheorieën hebben elk hun specifieke geldigheidsbereik, waarbinnen de gegeven nauwkeurigheid gegarandeerd blijft. Gaat men echter buiten dit geldigheidsbereik (in jaren gezien), dan daalt de nauwkeurigheid. Soms is de daling gering, andere keren is deze drastisch. Binnen mijn programma Newcomb Versie-3 en 4 worden de volgende theorieën toegepast:

A) Voor de periode 4000 v. Chr. tot 500 na Chr. : de theorie van P. Bretagnon en J.L. Simon³⁺⁴
B) Voor de periode 500 na Chr. tot 2500 na Chr. : de theorie IPS2000
C) Voor de periode 2500 na Chr. tot 3000 na Chr.: de theorie VSOP87⁸⁺⁹
D) Voor de periode 3000 na Chr. tot 8000 na Chr. : de theorie van P. Bretagnon en J.L. Simon³⁺⁴

De nauwkeurigheden en aantallen storingstermen worden per theorie hierna nader verklaard.

A) De periode 4000 v. Chr. tot 500 na Chr. volgens de theorie van Bretagnon - Simon

Deze bijzonder lange periode van 4500 jaar (!!) wordt op bijzonder mooie manier afgedekt door de planetaire theorie van de heren P. Bretagnon en J.L.Simon³⁺⁴. Elke planetaire theorie wordt door de volgende eigenschappen gekenmerkt:

A) Een langere tijdsperiode met een beperkte nauwkeurigheid.
B) Een kortere tijdsperiode met een hoge nauwkeurigheid.

Diverse tests met het programma Newcomb Versie-3 in de vroege periode (3000 v.Chr. tot 500 na Chr.) in vergelijking met de ultieme referentie-efemeride DE406 (geldig van 3000 BC tot 3000 AD) geeft het volgende nauwkeurigheidsverloop van de geocentrische lengte:

De gemiddelde afwijking in de hele vroege tijd tussen 3000 voor Chr. en 2400 voor Chr. bedraagt ongeveer 30 tot 40 boogseconden met diverse kleine fluctuaties. Zo'n 1000 jaar later zien wij het volgende overzicht van nauwkeurigheden:

De gemiddelde nauwkeurigheid is verbeterd van ca. 30 boogseconden naar gemiddeld 18 boogseconden. Alsnog is dit een mooie nauwkeurigheid voor zo'n veraf gelegen tijdsperiode, een periode waarvan geen enkele horoskoop bekend is en het dus al geen nut heeft om dergelijke nauwkeurigheden te hebben, maar ok, de nauwkeurigheid zit eenmaal in het programma.

Nog een plaatje uit het verre verleden: de periode rond het begin van de jaartelling:

Dus zo'n 2000 jaar geleden vanaf heden komen de zeer mooie nauwkeurigheden al tevoorschijn: gemiddeld tussen de 0 en de 2 boogseconden voor de Geocentrische lengte van Mars en dit wordt steeds beter naarmate de tijd voortschrijdt. Met name de invloed van de precessie zorgt voor grotere afwijkingen van de DE460 in de zeer vroege jaren. Als u bedenkt dat er voor deze periode vrijwel geen nauwkeurige horoskopen bestaan, dan is de hier geboden nauwkeurigheid van Mars al super natuurlijk!

Voor de declinatie van Mars vindt u hieronder een grafiekje voor de tijdsperiode rond het begin van de jaartelling:

Voor zeker 80% van de gevallen ligt de nauwkeurigheid rond de plus of min 1 boogseconde en dat is natuurlijk een super nauwkeurigheid voor een tijdsperiode die zo ver achter ons ligt.

Basis voor deze mooie resultaten zijn de formules die Bretagnon en Simon geven voor de lengte en radiusvector van de Zon en de heliocentrische lengte, -breedte en -radiusvector van Mars. Op de formule van de heliocentrische lengte van Mars zijn slechts 60 storingstermen van toepassing. Dit is zeer weinig voor zo'n lange tijdsperiode.
De basisformule voor de heliocentrische breedte van Mars is relatief eenvoudig en kent slechts 7 (!) storingstermen voor de breedte. De basisformule voor de heliocentrische radiusvector van Mars is relatief eenvoudig en kent slechts 29 storingstermen.
De formules worden hier niet gegeven, maar u kunt ze in het boek³ bestuderen. Ze zijn uiteindelijk verantwoordelijk voor het mooie resultaat voor de testjaren 2900 v. Chr. tot 500 na Chr.

In totaal zijn voor alle tests van de theorie van Bretagnon / Simon ten opzichte van de referentie-efemeride DE406 de volgende aantallen berekeningen gemaakt in Newcomb-V3 voor het verkrijgen van de Geocentrische lengte, breedte, Rechte Klimming en Declinatie:

B) Voor de periode 500 na Chr. tot 2500 na Chr. : volgens de theorie IPS2000

De periode 500 na Chr. tot 2500 na Chr. omvat 99,9% van alle denkbare en bruikbare horoskopen. Nog mooier is het dat voor al deze horoskopen ongelooflijk nauwkeurige berekeningen gemaakt kunnen worden, waarvan u hieronder enkele voorbeelden kunt gaan zien.

Al deze berekeningen gaan volgens de theorie IPS2000 (Improved Planetary System). Deze theorie is een voortzetting van VSOP87 met verbeterde massa’s voor de planeten volgens IERS2002 en een hoog ontwikkelde wiskundige storingsrekening, rekening houdend met de Newton gravitatie van de Maan en de planeten tot en met Neptunus. Deze berekeningen worden gemaakt binnen het raamwerk van IPS2000, geldend voor de epoch J2000. Daarna worden de resultaten naar een ander raamwerk, maar ook voor J2000 getransformeerd. De heliocentrische coördinaten voor J2000 worden via nauwkeurige precessieformules omgezet naar de heliocentrische coördinaten van datum.
Deze berekeningen worden uitgevoerd voor Mars en voor de Aarde voor hetzelfde tijdsmoment. Van beide hemellichamen worden de heliocentrische X, Y en Z coördinaten berekend en van hieruit worden dan de geocentrische posities berekend.

Het aantal termen voor de storingsrekening is zeer groot, maar de bereikte precisie is de meest nauwkeurige ooit behaald. In onderstaande tabel vindt u per X, Y en Z coördinaat het aantal storingstermen.

	Termen in X	Termen in Y	Termen in Z
Functie van T	1584	1612	355
Functie van T¹	995	1005	358
Functie van T²	387	384	122
Functie van T³	134	134	51
Functie van T⁴	37	37	16
Functie van T⁵	16	16	4
Totaal	3153	3188	906
Totaal: 7247 termen

Het zéér grote aantal termen voor Mars komt voort uit het feit dat Mars door zijn kleine afstand tot Venus en de Aarde flinke storingen ondergaat in zijn baan, terwijl de afstand van Mars tot Jupiter en Saturnus weliswaar groter is, maar de massa's van die planeten is zó groot dat de storingsinvloeden ook erg groot zijn.

De termen in "Z" hebben voornamelijk invloed op de berekende heliocentrische breedte van Mars, terwijl de termen in "X" en "Y" samen bepalend zijn voor de heliocentrische lengte. Door deze X, Y en Z ook voor de Aarde te berekenen, kan uiteindelijk via geometrie de Geocentrische coördinaten X, Y en Z bepaald worden. Daaruit volgen dan weer de Geocentrische Lengte en Breedte, plus Rechte Klimming en Declinatie die voor de uiteindelijke horoskoop van belang zijn.

De uiteindelijke resultaten van alle berekeningen zijn voor enkele tienduizenden tests gemaakt gedurende mijn testperiode in de jaren 2002 tot 2007 en u vindt hieronder een greep uit de resultaten via grafiekjes voor diverse tijdsperioden. Bij elke grafiek ziet u op de Y-as het verschil tussen de berekeningen in Newcomb en de resultaten uit de meest nauwkeurige efemeride DE406.

Vrijwel alle berekende Geocentrische Lengten zijn nauwkeurig tussen -0,01 en +0,01 boogseconden. In zeer veel jaren zijn de nauwkeurigheden zelfs tussen de 0 en 0,005 boogseconden. Feitelijk kunnen hiermee voorspellingen op enkele minuten nauwkeurig gemaakt worden, maar de astrologische theorieën zelf bieden nog te weinig houvast voor dergelijke berekeningen. Wij mogen al blij zijn als zaken op de dag nauwkeurig lopen, hetgeen ook zeer vaak het geval is, zoals de dood van Milosevic op 1 dag nauwkeurig en de vele persoonlijke horoskopen die zeer vaak op 1 dag nauwkeurig lopen.

Vrijwel alle declinaties zijn nauwkeurig in een interval tussen -0,004 en + 0,004 boogseconden! Dit is een ongeëvenaarde precisie binnen astrologieprogramma's. Een paar uitschieters geven nauwkeurigheden tot 0,008 boogseconden, maar nergens is het ooit meer dan 0,01 boogseconde.

Hier ligt ruim 95% van de berekeningen van de lengte tussen -0,01 en + 0,01 boogseconde. Af en toe is er een uitschieter naar de 0,02 boogseconde nauwkeurigheid, altijd nog een factor 300 beter dan de meeste astrologische efemeriden die op de markt verkrijgbaar zijn.

U ziet in de grafiek zelf de spreiding van de nauwkeurigheden. Alle berekende declinaties zitten onder de 0,01 boogseconde nauwkeurigheid. Ruim 90% zit zelfs tussen een marge van -0,004 en + 0,004 boogseconden!!

Hoe verder wij teruggaan in de tijd, des te sterker wordt de invloed van de precessie. De uitkomsten van de IPS2000-berekeningen worden namelijk tenslotte herrekend naar het actuele jaar van de horoskoop via precessieformules. Deze zijn nog niet volmaakt en worden met zekere regelmaat herzien. Echter de officieel door de IAU gepubliceerde precessie dateert uit 1976 en deze wordt dan ook gehanteerd.
Alsnog zijn de nauwkeurigheden van de lengten van Mars in het tijdvak 1000-1100 schitterend te noemen: maximaal 0,07 boogseconden!!

90% van alle berekende Geocentrische lengten van Mars zit tussen de -0,005 en + 0,005 boogseconden. Hier en daar zitten er wat uitschieters tussen, maar nergens is dit meer dan 0,026 boogseconde, een schitterende nauwkeurigheid.

Om maximale nauwkeurigheid te verkrijgen is de gehele tijdlijn verdeeld in stukken. Op elk stuk van de tijdlijn worden de berekeningen gedaan door een bepaalde theorie die daar het meest voor in aanmerking komt. De geldigheid van de IPS2000-theorie loopt tot het jaar 2500 na Chr., dus ná deze tijd moet een andere theorie dit "gat" opvullen. Hiervoor is de theorie van VSOP87 het best geschikt, aangezien de nauwkeurigheden vrij groot zijn in dit tijdvak.
Voor dit tijdvak had ik kunnen kiezen voor de theorie van Bretagnon/Simon, maar de theorie VSOP87 (Variations Seculaires des Orbites des Planètes) biedt betere resultaten. Formeel loopt de geldigheid van VSOP van 1549 tot 2350 en hoe verder men buiten dit interval komt, hoe slechter de resultaten worden. Eigen experimenten leverden voor de periode +2500 tot +3000 nog steeds betere resultaten op dan met Bretagnon het geval is. Alle uitkomsten werden steeds met de meest nauwkeurige efemeride DE406 vergeleken. In onderstaande tabel vindt u het aantal correctietermen voor de X, Y en Z coördinaat van Venus.

	Termen in X	Termen in Y	Termen in Z
Functie van T	1907	1907	355
Functie van T¹	1023	1023	252
Functie van T²	511	511	133
Functie van T³	192	1921	56
Functie van T⁴	81	81	20
Functie van T⁵	26	26	7
Totaal	3740	3740	823
Totaal termen: 8303

Het zeer grote aantal correctietermen is nodig, omdat Mars in zijn baan veel storing ondervindt van Venus en de Aarde die relatief dichtbij staan. De grotere en veel zwaardere planeten Jupiter en Saturnus staan weliswaar verder weg, maar hun invloed is zeer groot en dit draagt ook bij tot het grote aantal termen.
De termen in "Z" hebben voornamelijk invloed op de berekende heliocentrische breedte van Mars, terwijl de termen in "X" en "Y" samen bepalend zijn voor de heliocentrische lengte. Door deze X, Y en Z ook voor de Aarde te berekenen, kan uiteindelijk via geometrie de Geocentrische coördinaten X, Y en Z bepaald worden. Daaruit volgen dan weer de Geocentrische Lengte en Breedte, plus Rechte Klimming en Declinatie die voor de uiteindelijke horoskoop van belang zijn.

Formeel eindigt de VSOP87-periode in het jaar 2350 na Chr., maar omdat de resultaten zelfs tot aan het jaar +3000 beter waren dan de theorie van Bretagnon, zijn alsnog de VSOP-correcties gebruikt.

De uiteindelijke resultaten van alle berekeningen zijn voor enkele duizenden tests gemaakt gedurende de onderzoeksperiode van 2002 tot 2007 en u vindt hieronder een greep uit de resultaten via de grafiekjes voor de tijdperiode 2800 tot 2900 na Chr.. Bij elke grafiek ziet u op de Y-as het verschil tussen de berekeningen in Newcomb en de resultaten uit de meest nauwkeurige efemeride DE406.

De merkwaardige uitschieters die met een regelmaat van ca. 16 jaar voorkomen, ontstaan doordat de VSOP87-theorie wordt gebruikt búiten het toegestane interval. Alsnog is bij deze uitschieters de maximale afwijking ca. 10 boogseconden in de lengte van Mars. In het overgrote deel van de tijdsperiode ligt de nauwkeurigheid tussen de 0 en 4 boogseconden afwijking ten opzichte van de DE406. Dit is wel een grotere afwijking dan bij de planeet Venus, maar de storingsrekening op Mars is zéér uitgebreid en hier doet zich de treding buiten het domein van VSOP87 zich bijzonder voelen. U ziet tevens dat er een tendens is voor steeds grotere afwijkingen naar het jaar 2900 toe. Deze tendens neemt nog toe naarmate het jaar 3000 wordt genaderd.

In deze grafiek ziet u de steeds groter wordende fluctuaties optreden,als gevolg van de overschrijding van de geldigheidsperiode binnen de VSOP87-theorie. Maar ook hier zijn de resultaten nog steeds geweldig! Maximale afwijking is hier 2 boogseconden.

D) Voor de periode 3000 na Chr. tot 8000 na Chr. volgens de theorie van P. Bretagnon en J.L. Simon

De theorie VSOP87 heeft zijn eigen geldigheidsbereik en deze ligt tussen 1544 en 2350 na Chr., maar werd "verlengd" gebruikt tot aan het jaar 3000 na Chr. Ná deze periode heb ik de theorie van P. Bretagnon en J.L. Simon³ gebruikt, zoals ook voor de hele vroege tijdsperiode. Uiteraard gaat de nauwkeurigheid wel achteruit, maar aan de andere kant is deze periode zó ver weg, dat de behoefte aan nauwkeurigheid ook wel wat minder mag zijn.

Vergelijken van de berekeningen met een referentie-efemeride DE40x gaat niet meer, want de DE406 heeft ook zijn eigen geldigheidsbereik die loopt tussen 3000 v. Chr. en 3000 na Chr. Dit hangt weer samen met een consistente theorie voor de Zon en de Maan die elk hun eigen geldigheidsperioden kennen. Feitelijk is elke planeettheorie afhankelijk van de theorie voor Zon en Maan. Dus binnen de consistenties van de DE406 zijn alleen de planeettheorieën geldig die ditzelfde bereik kennen, anders is een vergelijking niet mogelijk.

Hoe is het dan mogelijk dat Bretagnon en Simon hun theorieën hebben kunnen opstellen voor de periode 3000 tot 8000 na Chr.? Elke planeettheorie heeft ook zijn eigen "interne precisie" die gebaseerd is op de aannames van de theorie. Startwaarden voor formules e.d. zijn ontleend aan de waarnemingen die over een hele lange periode zijn gedaan. Op deze wijze is het "beste gemiddelde" aangenomen, waarmee deze theorie alsnog kon worden getoetst aan observaties van heel lang geleden, maar ook aan observaties van het heden die tegenwoordig zo nauwkeurig zijn. Door al deze afwijkingen zo nauwkeurig mogelijk te analyseren en er een soort van "grof gemiddelde" van te nemen, kan een formule dan voor een héle lange periode geldig zijn, maar hij boet dan wél aan nauwkeurigheid in.

Voor de Zon en de planeten Mercurius, Venus en Mars hebben Bretagnon en Simon enkele formules opgesteld, die men kan lezen in het door hen uitgegeven boek³ dat al herhaalde malen is vermeld in dit artikel. Als men deze formules uitwerkt, dan verkrijgt men voor de Zon de lengte en radius vector (gezien vanaf de Aarde) en voor de planeten Mercurius, Venus en Mars verkrijgt men de:

Al deze uitkomsten gelden dan voor de equinox van de betreffende dag, dus dit is reeds gecorrigeerd voor precessie.

Bretagnon en Simon geven de volgende nauwkeurigheden in het tijdvak +3000 tot + 8000. Hierbij is "T" een grootheid die is uitgedrukt in duizenden jaren ná J2000.

Nemen wij even het jaar 5000 na Chr. aan. Dit is 3000 jaar verder dan J2000. "T" is dan gelijk aan 3 en T² is dan gelijk aan 9. De te verwachten nauwkeurigheid voor de Zon is dan: 2,0 " + 0,03" x 9 = 2,3".
Mercurius: 10,3" ; Venus: 12,2" en Mars: 24,7"

Een grafiek met de nauwkeurigheden volgens de opgave van Bretagnon en Simon ziet er als volgt uit: Hieruit volgt dat als deze theorie was gevolgd voor het tijdvak 2500 tot 3000 na Chr. dat de nauwkeurigheid ongeveer 20 boogseconden was geweest. oor het "verlengde" interval van de VSOP87-theorie te gebruiken, kon de nauwkeurigheid tot ca. 8-15 boogseconden behouden blijven.

Zelfs met deze "onnauwkeurigheden" mogen wij erg tevreden zijn, want (A) zullen wij waarschijnlijk nooit een horoskoop opstellen voor een datum in het jaar 5000 en (B) zullen wij voor deze verre tijden hooguit geïnteresseerd zijn in algemene standen, waarbij de graad zelf al voldoende informatie geeft.

Gezien al het bovenstaande kan geconcludeerd worden dat de programma's Newcomb Versie-3 en Versie-4 het absolute summum op het gebied van planeetnauwkeurigheid in zich herbergt. Er wordt géén gebruik gemaakt van de Swiss Ephemeris, alle formules zijn persoonlijk door de auteur geprogrammeerd EN getest met honderdduizenden tests in de periode 2900 voor Chr. tot 3000 na Chr. De wijze waarop die tests zijn gedaan, is uitgebreid toegelicht met voorbeelden in het artikel over de Zon.