Rob Reijerkerk

 

 

 

 

terug

 

 

Het verband tussen driehoeksgetallen en kwadraten.

 

 

Het aantal kanonskogel in een laag van een vierzijdige pyramide is, van de top af gerekend, 1, 4, 9, 16.... In de n-de laag zitten dus n² kanonskogels.

 

Bij een driehoekige stapel is het aantal kanonskogels per laag achtereenvolgens 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28.... Er is een formule voor het aantal kanonskogels in de n-de laag vanaf de top in de driehoekige stapeling, namelijk:

 

½ n (n +1)

 

Dat is dus de formule voor het n-de driehoeksgetal. Hiervoor is een aardige afleiding te vinden in De Telduivel (zie Duivelse wiskunde), maar het kan ook eenvoudig met volledige inductie bewezen worden.

 

Voor het aantal kanonskogels één laag hoger moet je in de formule (n – 1) invullen voor n. Je krijgt dan:

 

½ (n – 1) n

 

Als je de aantallen uit de n-de laag en de laag daarboven optelt levert dat: 

 

½ n (n +1) + ½ (n – 1) n = ½ n² + ½ n + ½ n² – ½ n = n²

 

Dat is dus het aantal kanonskogels in de n-de laag van de vierkante stapeling.

 

R.