Rob Reijerkerk

 

 

home

 

to English version

 

 

 

Uit de rubriek WISKUNDE.

 

 

De sneeuw van Kepler.

††††††††††††††††††

 

Johannes Kepler staat vooral bekend als de man van de drie wetten die het heliocentrische wereldbeeld van Copernicus een wetenschappelijke basis hebben gegeven. Maar hij heeft zich ook met veel kleinschaliger zaken beziggehouden: hij was een van de eersten die zich afvroegen of de opbouw van kristallen soms uit de rangschikking van de deeltjes verklaard kon worden.

 

In de zestiende en zeventiende eeuw was het gewoonte om met het begin van het nieuwe jaar cadeautjes te geven, en niet met kerstmis. Het was natuurlijk raadzaam om bij die gelegenheid je weldoeners niet over te slaan. Bij de aanvang van het jaar 1611 verblijdde Kepler, die toen als hofastronoom te Praag woonde, zijn vriend en beschermer Wackher von Wackenfels met een klein boekje, getiteld Strena, seu de nive sexangula, dat is in het Nederlands: Een geschenkje, oftewel over de zeshoekige sneeuwvlok.

 

Snow flake by Wilson Bentley, 1902

 

Het boekje begint met een opdracht waarin Kepler onder virtuoos vertoon van eruditie speelt met de verschillende manieren waarop je het woord ďnietsĒ kunt gebruiken. Wat moet hij toch geven aan zijn vriend, die niets leuk vindt? Na uitvoerige overwegingen komt hij tot de conclusie dat het een sneeuwvlok moet zijn, want dat is bijna niets.

 

Nam si Germano quaeras, nix quid sit, respondebit Nihil, siquidem Latine possit.

Want als je aan een Duitser vraagt wat ďnixĒ is, dan zal hij ďnihilĒ antwoorden. als hij tenminste een beetje latijn kent.

 

Daarbij gaat Kepler er kennelijk van uit dat de gemiddelde Duitser genoeg latijn kent om te weten dat ďnietsĒ in het latijn ďnihilĒ is, maar te weinig om te weten dat het latijnse woord ďnixĒ de betekenis ďsneeuwĒ heeft. Maar afgezien van alle grappen is de opdracht ook nog interessant omdat Kepler naast onder andere Plato en Socrates ook Epicurus noemt. Eeuwenlang was de atoomtheorie van Epicurus door de Kerk als ďgoddeloosĒ verketterd, maar kennelijk was Epicurus in de kringen waarin Kepler verkeerde, inmiddels toch zo bekend, dat hij er terloopse toespelingen op kon maken. Het woord ďatoomĒ (atomus) komt zelfs een paar keer voor in De nive sexangula. Misschien wel even veelbetekenend is dat hij in zijn inleiding Aristoteles niet noemt. Aristoteles, die een paar eeuwen lang het academische debat had overheerst, begon al aardig uit de mode te raken Ė wat niet betekent dat er in dit boekje helemaal geen invloeden van Aristoteles zijn aan te wijzen.

 

Na de opdracht is het trouwens uit met de scherts. Zo, nu moet er gewerkt worden. De vraag die Kepler stelt is deze: waarom hebben de sneeuwvlokken altijd een zestallige symmetrie en nooit een vijftallige of een zeventallige? Sneeuw komt voort uit waterdamp, en waterdamp heeft geen structuur, dus daar kan het niet vandaan komen. Om een antwoord op deze vraag te vinden gaat Kepler eerst te rade bij andere voorbeelden van zestallige symmetrie die hij in de natuur is tegengekomen. Allereerst kijkt hij naar de bijen. Het is natuurlijk algemeen bekend dat de cellen in een honingraat de vorm van zeshoeken hebben, en dat ze zo een heel vlak vullen. Maar Kepler gaat nog een stapje verder: hij heeft ook naar de bodem van de cellen gekeken en tot zijn vreugde heeft hij vastgesteld dat de bodem de vorm heeft van drie gelijkzijdige ruiten, die naar beneden een beetje uitsteken. Dat ziet er ongeveer zo uit (in drie cellen heb ik de ruiten weggelaten).

fig. 1

 

Als je vanaf de opening de cellen inkijkt, dan bevindt het diepste punt zich op de plek van de dikke zwarte stip. Maar je kunt de zaak ook omkeren. Als je van de andere kant af kijkt, van de kant waar de cellen gesloten zijn, dan geven de stippen juist de plekken aan waar de afsluiting van de cel als een tentdak omhoog steekt. Tussen drie stippen zit nu weer een zeshoekje dat in het midden omlaag gaat, en waar de uitstekende bodem van een andere cel precies in zou passen. Dat hebben de bijen ook gezien en zij bouwen een honingraat uit twee lagen cellen, die met de bodem tegen elkaar liggen.

fig. 2

 

Als de stippen de plaats aangeven waar de dakjes van de cellen aan de andere kant omhoogsteken, dan wijst het midden van de gekleurde zeshoek juist omlaag (figuur 2 links). De lagen cellen die rug aan rug liggen, passen, met een kleine verschuiving, precies in elkaar (figuur 2 rechts).

 

Dat bracht Kepler op de gedachte dat hij met de ruiten een regelmatige veelvlak zou kunnen construeren, waarmee hij de hele ruimte zou kunnen vullen. Hij voorzag in gedachten een cel uit een honingraat van een dekseltje dat precies gelijk was aan de bodem. Als hij dat deksel in de goede positie plaatste, en de juiste afstand in acht nam, dan kreeg hij een figuur met twaalf identieke ruiten als zijvlakken, de rhombendodecaŽder (het ruitentwaalfvlak).

fig.3

 

Zo ziet de rhombendodecaŽder er uit. Ik vind het lastig om hem te tekenen, en ik vind het ook lastig om me de figuur voor te stellen aan de hand van een perspectievische tekening. Dat komt voor een deel omdat ons oog de niet te onderdrukken neiging heeft om een ruit in perspectief als een rechthoek te interpreteren. Ik stel me de rhombendodecaŽder voor als een zeshoekige koker die gevormd wordt een zigzaggende band van zes ruiten, met bovenop en onderop een hoedje van drie ruiten (een zoín hoedje is gekleurd in figuur 3). Als je van bovenaf kijkt zitten de ruiten van het hoedje aan de onderkant precies tegengesteld georiŽnteerd aan die van de bovenkant. Een vlakke ďuitslagĒ van die drie stukken zou er ongeveer zo uit moeten zien (figuur 4 links):

 

fig. 4

 

De rode lijnen in het bovenaanzicht (figuur 4 rechts) geven de oriŽntatie van de ruiten van de onderste deksel aan. Zo kun je je ook een goede voorstelling maken van de manier waarop de rhombendodecaŽders de hele ruimte kunnen vullen: eerst maak je een laag van zeshoekjes die tegen elkaar aan zitten zoals in figuur 2, en de uitstekende bodems van de volgende laag van rhombendodecaŽders passen dan precies in de holtes die zijn ontstaan. De kleur van figuur 3 past in de kleur van figuur 2. Dit proces kun je eindeloos naar alle kanten herhalen.

 

Kepler was buitengewoon verheugd over deze ontdekking. Kepler was gek op regelmatige veelvlakken. In navolging van Plato was hij tot de overtuiging gekomen dat er achter alle natuurverschijnselen wiskundige waarheden waren verborgen. Plato had in zijn Timaeus verkondigd dat de kleinste deeltjes van de elementen vuur, lucht, water en aarde de vorm hadden van de vier regelmatige veelvlakken tetraŽder, octaŽder, icosaŽder en kubus. Plato hield dan nog een vijfde figuur over: de dodecaŽder, met regelmatige vijfhoeken als zijvlakken, die hij aan de hele cosmos toewees. De vijf regelmatige veelvlakken staan sindsdien ook bekend als de ďPlatoonse lichamenĒ, hoewel Plato zeker niet de ontdekker van deze figuren was. Wat Plato voor de wereld van het kleine had gedaan, probeerde Kepler voor de wereld van het grote te doen. Dit leidde tot een op het eerste gezicht bizarre constructie: Keplers veel gereproduceerde model van het zonnestelsel, dat gebaseerd was op de vijf Platoonse lichamen met de bijbehorende in- en omgeschreven bollen (met de zon in het midden, zoals Copernicus had bedacht!).

fig. 5 uit Keplers Mysterium Cosmographicum (1596).

 

Hier is het binnenste deel van het model weergegeven, met de zon omringd door een octaŽder, een icosaŽder en een dodecaŽder; er omheen zitten nog een de tetraŽder en een kubus (met een bolschil ertussen). De tussenliggende bolschillen leggen de posities van de planeten vast en de omgeschreven bol van de kubus levert dan de hemel van de vaste sterren. Kepler meende dat hij op deze manier de onderlinge afstanden van de planeetbanen kon verklaren. Achteraf bezien was dat natuurlijk een onbezonnen poging, maar uiteindelijk leverde Keplers zoektocht naar wiskundige verbanden toch een schitterende resultaat op. In zijn latere Harmonices Mundi (1619) geeft hij het verband tussen de gemiddelde stralen van de planetenbanen en de omlooptijden Ė maar die betrekking was dan ook niet gebaseerd op meetkundige speculaties, maar op astronomische waarnemingen, die van hemzelf en die van Tycho Brahe. Deze wetmatigheid (de derde wet van Kepler) zou later Newton inspireren tot zijn beroemde gravitatiewet.

 

Terug naar de rhombendodecaŽder. Dit veelvlak hoort niet bij de Platoonse lichamen, al was het maar omdat niet alle hoeken gelijk zijn. Bij sommige hoekpunten (zes van de veertien) komen er vier zijden bij elkaar en bij de andere drie. En het hoort ook niet bij de Archimedische lichamen, die Keplers speciale belangstelling hadden (die hebben twee verschillende regelmatige veelhoeken als zijvlakken). En toch heeft de rhombendodecaŽder een zekere betovering: je ziet meteen dat hij een hoge mate van symmetrie moet hebben, maar je ziet niet meteen wat voor symmetrie. Bij nadere inspectie blijkt dat hij dezelfde symmetrie heeft als de kubus.

Kepler kende een voorbeeld van een rhombendodecaŽder dat in de natuur voorkwam: de pitten van een granaatappel. Ik heb wel eens een granaatappel opengemaakt, maar het is me eerlijk gezegd toen niet opgevallen dat de pitten de vorm van een de rhombendodecaŽder hadden. Maar misschien was de granaatappel niet oud genoeg. Kepler zegt dat de rhombendodecaŽdrische pitten pas ontstaan in oudere granaatappels, omdat dan de schil hard wordt en de ruimte voor de pitjes (die nog doorgroeien) beperkt. En nu maakt Kepler een briljante stap: hij koppelt deze overwegingen aan een beschouwing over de manier waarop de ruimte met bollen gevuld kan worden.

 

fig.6

 

Hij begint met bollen op een vlakke ondergrond. Er zijn nu twee regelmatige rangschikkingen die voor de hand liggen; ze staan hierboven afgebeeld. Het is duidelijk dat methode A de ruimte minder goed gebruikt dan methode B: de tussenruimtes tussen de bollen zijn veel groter wanneer ze in vierkantjes liggen dan wanneer ze in driehoekjes liggen. Allereerst onderzoekt Kepler hoe je meer lagen kunt maken, uitgaande van rangschikking A. Je kunt de tweede laag zo aanbrengen dat iedere bol uit de volgende laag precies boven een bol uit de vorige laag ligt; iedere bol staat dan direct in contact met zes andere bollen, namelijk vier in zijn eigen laag , een onder en een boven. Als je in deze stapeling de bollen tegen elkaar zou laten duwen, zoals de pitten van de granaatappel, dan zouden ze vervormd worden tot kubussen.

 

Het is duidelijk dat dit een onvoordelige manier is om de ruimte te vullen; tussen de bollen blijven grote tussenruimtes over. In de moderne kristallografie staat deze manier van stapelen bekend al simple cubic of primitive cubic (kristallografen spreken Engels). Een vrij simpele berekening leert dat bij deze stapeling de bollen 52,4% van de ruimte in beslag nemen, of zoals de kristallografen het uitdrukken: de packing efficiency is 52,4%.

 

Maar hoe zit dat dan als je bollen van de tweede laag niet recht boven de bollen van de eerste laag legt, maar in de holletjes tussen de bollen? Dat moet een gunstiger stapeling opleveren.

 

fig. 7

 

Dat doet het zeker. Als je op deze manier doorstapelt wordt iedere bol (met uitzondering van de bollen aan de rand natuurlijk) omringd door twaalf andere bollen: vier in dezelfde laag, vier onder en vier boven. Deze manier van opstapelen staat onder de kristallografen bekend als cubic close packed en hij wordt schematisch weergegeven met de volgende eenheidscel, waarin de rode stippen de plaatsen van de middelpunten van de bollen aangeven..

fig. 8

 

Als je je realiseert dat deze eenheidscel zich naar alle kanten oneindig vaak kan herhalen, dan is makkelijk in te zien dat bij deze stapeling inderdaad iedere bol is omringd door twaalf andere, op de manier zoals hierboven is beschreven. Het grondvlak van de eenheidscel is terug te vinden in plaatje A van figuur 6 of figuur 7, maar dan 45 graden gedraaid. Omdat de middelpunten van de bollen zich op de hoekpunten van de eenheidskubus bevinden, en ook in het midden van de zijvlakken, wordt deze stapeling ook face centered cubic genoemd.

 

Nu komen we tot een veel hogere packing efficiency. Je kunt de packing efficiency als volgt berekenen. Allereerst is van belang om in te zien dat drie bollen die samen de diagonaal van een zijvlak bezetten, elkaar raken. Als je de straal van de bollen met r aangeeft, dan is de lengte van de diagonaal 4r en heeft de eenheidskubus een ribbe van 2 r √2. Het volume van de eenheidscel is dan 16 r3 √2. De eenheidscel bevat vier bollen; dat kun als volgt zien. Een bol op een hoekpunt zit maar voor een achtste gedeelte in de eenheidscel, maar omdat er ook acht hoeken zijn levert dat ťťn hele bol. De bollen in het midden van de zijvlakken tellen maar half mee, maar omdat er zes zijvlakken zijn levert dat nog eens drie bollen, in totaal dus vier. Vier bollen hebben samen een inhoud van 4 x 4/3 π r3. De packing efficiency kun je nu uitrekenen als 4 x 4/3 π r3 gedeeld door 16 r3 √2.Dat is gelijk aan π gedeeld door 3 √2 en dat is 74,05%. Heel wat beter dan de eenvoudige kubische stapeling dus. Kepler meende zelfs dat het de beste stapeling was die je kunt bereiken.

 

Coaptatio fiet arctissima, ut nullo praeterea ordine plures globuli in idem vas compingi queant.

 

Deze stapeling is de dichtst mogelijke, en met geen enkele andere rangschikking kunnen er meer bollen in dezelfde inhoud ondergebracht worden.

 

Deze uitspraak staat bekend als ďhet vermoeden van KeplerĒ. Kepler leverde geen bewijs voor zijn uitspraak, en dat heeft hij ook niet geprobeerd. Hij heeft ook geen berekening gegeven voor de packing efficiency, maar hij begreep intuÔtief dat het niet beter kon. De meeste wiskundigen en natuurkundigen die zich na hem met het probleem hebben bezig gehouden, waren het met hem eens, maar verrassend genoeg was het niet zo een voudig om aan te tonen dat het ook echt zo was.

 

De dichtste stapeling gaf Kepler een verklaring voor de vorm van de granaatappelpitten. De pitjes in de vrucht rangschikken zich zů dat ze de benauwde ruimte in de schil zo goed mogelijk gebruiken, en als ze nog doorgroeien, worden de in aanleg bolvormige pitten door de druk van hun buren vervormd tot rhombendodecaŽders. De twaalf zijvlakken van de regelmatige veelvlakken corresponderen met de de twaalf buren waar de pitten tegen aan duwen, en ook de vorm komt precies overeen. Of om het iets wiskundiger uit te drukken: de rhombendodecaŽder is de Voronoi-cel van het rooster dat hoort bij cubic close packed Ė maar dat komt ongeveer op hetzelfde neer. Zo heeft Kepler gevonden dat de dodecaŽdervorm voortvloeit uit een materiŽle noodzaak (necessitas materialis) en niet bepaald wordt door de aard van de boom (essentia animae in hac arbore).

 

En bij de bijen? Bij de bijen is het net zo iets. De bijen werken met hun ronde lijfjes naast elkaar en ze proberen het vlak zo goed mogelijk te benutten. Van alle figuren die het vlak kunnen vullen heeft de zeshoek het grootste oppervlak en de ruiten in de bodem van de cel zijn ook bijzonder handig, omdat de bijen zo materiaal kunnen sparen door de bodem naar twee kanten te gebruiken (zie figuur 2). Ook hier vindt Kepler een materiŽle noodzaak.

 

 

Nog een mogelijkheid?

Vervolgens bekijkt Kepler de stapelingen die mogelijk zijn als je begint met een laag bollen die gerangschikt zijn in driehoekjes, zoals in afbeelding B van figuur 6 of figuur 7. Iedere bol in de eerste laag is omringd door zes andere. Deze laag heeft ook een zesvoudige (hexagonale) symmetrie.

 

Natuurlijk kun je ook nu weer de bollen van de tweede laag recht boven de bollen van de eerste laag zetten; zo krijg je de stapeling die simple hexagonal heet. Iedere bol heeft acht bollen om zich heen: zes uit dezelfde laag en een onder en een boven. Voor wat het benutten van de ruimte betreft doet deze stapeling het beter dan simple cubic (dat was te verwachten), maar minder goed dan cubic close packed; de packing efficiencyvoor simple hexagonal is 60,5%.

 

Maar Kepler heeft nog een mogelijkheid: begin met een driehoekige laag bollen en leg de bollen van de volgende laag in de kuiltjes van de eerste. Om duidelijk te maken wat hij bedoelt, bouwt Kepler in gedachten een driezijdige pyramide van bollen. Ik neem aan dat de meeste van tijdgenoten hierin direct de stapeling van kanonskogels hebben herkend.

fig. 9

 

Hij begint met een driehoek van 15 bollen (laag E). In de holtes van die laag komen 10 bollen die ook weer een driehoek vormen (laag D) en dan 6 en dan 3 en dan 1. De getallen 1, 3, 6, 10, 15 ....staan dan ook bekend als ďdriehoeksgetallenĒ (zie Duivelse wiskunde). En nu heeft Kepler opnieuw de dichtste pakking te pakken. Iedere bol is weer omringd door twaalf andere bollen; zes in dezelfde laag, drie onder en drie boven. Het lijkt alsof hier nog een nieuwe manier is gevonden om een optimaal gebruik van de ruimte te maken, maar dat is niet zo. Bij nader inzien levert deze manier van stapelen eenzelfde stapeling als die we al eerder hebben gezien: cubic close packed met een packing efficiency van 74,05%. Ook Kepler zag dat.

 

Ita in solida coaptatione arctissima non potest ordo triangularis sine quadrangulari nec vicissim.

 

Zo kan er bij een zo dichtmogelijke stapeling geen driehoekige ordening zijn zonder een vierhoekige ordening Ė en omgekeerd.

 

Verbazingwekkend is het wel. Het maakt kennelijk niet uit of je een driehoekige stapeling van kanonskogels maakt, zoals in figuur 9, of dat er een een vierzijdige pyramide mee bouwt Ė de rangschikking die je krijgt is in beide gevallen, afgezien van de oriŽntatie ten opzichte van het horizontale vlak, hetzelfde. Op het eerste gezicht is dat vreemd, omdat de aantallen kanonskogels per horizontale laag in de twee gevallen verschillend zijn: bij de driehoekige stapeling worden de aantallen gegeven door de driehoeksgetallen (zie hierboven) en bij de vierkante stapeling door de kwadraten. Maar als je met knikkers de vierkante stapeling nabouwt, dan zie je in het zijvlak van de pyramide al gauw de driehoekige stapeling uit figuur 9 E verschijnen, waarbij iedere knikker in dat vlak door zes knikkers wordt omringd. Het is wat lastiger om in de driehoekige pyramide ook een vlak met een vierkante rangschikking te vinden, zoals die te zien is in figuur 6 A offiguur 7 A. Als je een tijdje rustig kijkt dan zie je dat er schuin door zoín pyramide inderdaad een dergelijk vlak loopt.

 

Er is trouwens wel een rekenkundig verband tussen de aantallen knikkers of kanonskogels in een horizontale laag van de ene pyramide en in een horizontale laag van de andere pyramide: als je het aantal in de n-de laag van een driehoekige pyramide neemt (van de top af gerekend), en je telt er het aantal in de voorafgaande de laag bij op, dan vindt je het aantal in de n-de laag van de vierkante pyramide (ook van de top af gerekend, natuurlijk).

Huiswerk: bewijs deze eigenschap (klik hier voor de uitwerking).

 

 

Kepler was er niet van op de hoogte, maar tegenwoordig is het een elementair gegeven in de kristallografie: er is nog een andere mogelijkheid voor een dichtste pakking, die wŤl verschilt van de cubic close packed stapeling. We beginnen weer met de ďdriehoekigeĒ rangschikking op een vlakke ondergrond, zoals in plaatje B, en in de kuiltjes leggen we weer een tweede laag (aangegeven met rode cirkels).

 

fig. 10

 

Er zijn nu kuiltjes waar geen bol onder ligt (nummer 1 in de rechter figuur) en kuiltjes waar wel een bol onder ligt (nummer 2 in de rechter figuur) Je kunt ze niet allebei tegelijk gebruiken, want als je voor kuiltjes nummer 1 kiest, zijn de kuiltjes nummer 2 geblokkeerd en omgekeerd. Het beste is om dit zelf even te controleren met knikkers of kanonskogels, of met wat maar voorhanden is. Als je voor de kuiltjes nummer 1 beslist, dan doe je in wezen hetzelfde als wanneer je de driehoekige stapels van kanonskogels bouwt, en krijg je weer cubic close packing. Maar de keuze voor de kuiltjes nummer 2 levert een nieuwe mogelijkheid op: de bollen van de derde laag staan recht boven die van de eerste laag enje krijgt een stapeling met de naam hexagonal close packed.

 

Dit is de eenheidscel voor hexagonal close packed.

fig. 11

 

Let op: het perspectief is hier enigszins bedriegelijk. Het grondvlak van de eenheidscel is geen vierkant, zoals je misschien zou denken, maar een ruit met hoeken van 60 en 120 graden. De zijden van die ruit zijn uiteraard gelijk (anders was het geen ruit), maar de hoogte van de eenheidscel heeft een afwijkende maat. Als je er van uitgaat dat de eenheidscel gevuld wordt door bollen met een straal r die elkaar raken, dan hebben de zijden van het grondvlak een lengte van 2 r en heeft de eenheidscel een hoogte van 4/3 r √6. Dat betekent dat de hoogte van de eenheidscel ongeveer 1,63 zo groot is als een zijde van het grondvlak. In de eenheidscel zijn de drie lagen goed te zien, en het is ook duidelijk dat de bollen uit de derde laag recht boven de bollen uit de eerste laag staan. Het lijkt misschien of in de eenheidscel de bollen uit de eerste en derde laag oververtegenwoordigd zijn, maar dat is maar schijn. De bollen uit de eerste en de derde laag steken buiten de eenheidcel uit; zowel voor de eerste als voor de derde laag tellen ze samen telkens maar voor ťťn bol Ė even veel als die ene van de tweede laag.

 

Het is duidelijk dat hexagonal close packed dezelfde packing efficiency heeft als cubic close packed; het feit dat de derde laag een klein stukje is opgeschoven heeft geen invloed op het gebruik van de ruimte. Ook hexagonal close packed heeft een packing efficiency van 74,05%.

 

Als de zachte pitten in een hexagonal close packed stapeling doorgroeien en tegen elkaar aanduwen, krijg je geen rhombendodecaŽders, maar een ďverdraaideĒ versie (twisted dodecahedron) die ook ruimtevullend is. Deze verdraaide dodecaŽder heeft niet alleen maar ruiten als zijvlakken: naast zes ruiten zijn er ook nog zes trapezia.

fig. 12

 

Ook van deze figuur is moeilijk een beeld te krijgen op grond van een min of meer perspectivisch plaatje. Om het iets duidelijker te maken haal ik de twee deksels van het veelvlak, die uit ruiten bestaan, er af , zodat ik een zeshoekige koker overhoud die uit trapezia is opgebouwd. Voor de drie onderdelen van de verdraaide dodecaŽder krijg ik dan de volgende ďuitslagenĒ.

 

fig. 13

 

De rode lijnen in het bovenaanzicht in het rechter plaatje van figuur 13 laten zien dat de ruiten van de onderkant nu hetzelfde geŲrienteerd zijn als de ruiten van de onderkant. Bij de gewone rhombendodecaŽder lagen ze precies omgekeerd (vergelijk figuur 4 rechts). Het veelvlak dat we nu hebben, is in wezen op dezelfde manier ruimtevullend als de gewone rhombendodecaŽder. Ook met de verdraaide dodecaŽder kun je een laag met zeshoekjes vullen, en de uitstekende dekseltjes van de volgende laag passen weer precies in de holtes die er zo ontstaan. De symmetrie van de verdraaide dodecaŽder is wel een stuk overzichtelijker dan die van de rhombendocecaŽder: er zijn geen viertallige assen meer, nog maar ťťn drietallige as en nog maar drie tweetallige assen.

 

In de kristallografie spelen de dichtste pakkingen, zowel de kubische als de hexagonale, een grote rol. Omdat de atomen van de metalen bij benadering als losse bollen beschouwd kunnen worden, hebben veel metalen in de kristalvorm een van deze stapelingen. Zilver en goud zijn cubic close packed (face centered cubic), zink en cadmium zijn hexagonal close packed.

 

 

 

 

Snow flake by Wilson Bentley, 1902

 

En de sneeuw?

Om de vorm van de sneeuwkristallen te verklaren neemt Kepler zijn toevlucht tot een van de Platoonse figuren, en wel de octaŽder. Allereerst verkondigt hij dat sneeuwvlokken die de vorm van een zeshoekige ster hebben, bij hun ontstaaan niet vlak zijn,maar ruimtelijk. Hij heeft daar een goed argument voor: sneeuwkristallen ontstaan in de ruimte, en niet op een oppervlak. Hij neemt aan dat een sneeuwkristal wordt gevormd door de inwerking van de koude op waterdamp, of, wat volgens hem op hetzelfde neerkomt, doordat de warmte zich terugtrekt naar naar het middelpunt van het kristal (hier is het idee van Aristoteles te herkennen dat warmte en koude de actieve eigenschappen zijn die veranderingen in de stof veroorzaken). Dit proces kan in de ruimte vanaf alle kanten plaats vinden, en dat betekent dat een sneeuwkristal als hij gevormd wordt, ook een ruimtelijke vorm moet hebben. Je zou kunnen zeggen dat Kepler door symmetrie-overwegingen tot de conclusie komt dat een sneeuwvlok bij zijn ontstaan niet vlak kan zijn.

 

Als hij gevormd wordt bestaat een sneeuwkristal volgens Kepler uit drie loodrecht op elkaar staande, gevederde staafjes die in het midden met elkaar verbonden zijn. Deze drie staafjes vertegenwoordigen de drie coŲrdinaten van de ruimte. Pas als zoín sneeuwkristal op de grond terecht komt zakt hij door zijn pootjes en wordt hij vlak. De geometrische basis voor deze constructie wordt geleverd door de drie lange assen van een octaŽder. Die vorm ontstaat doordat de bolletjes die bij het bevriezen van waterdamp gevormd worden, zich in een simple cubic stapeling aan elkaar hechten. Een kubische stapeling kan makkelijk aanleiding geven tot een octaŽder, want de kubus en de octaŽder zijn verwante figuren (ďhet zijn duale veelvlakken,Ē zouden de wiskundigen nu zeggen Ė ďzij zijn als man en vrouwĒ zegt Kepler ≠Ė zie figuur 14). En het is ook niet vreemd dat de kubus en de octaŽder vorm geven aan materie, want ze bestaan, net als de andere Platoonse figuren, in de geest van de scheppende God (in Dei creatoris mente).

 

††††

fig. 14

 

Hier lijkt het er even op dat Kepler de onderzoeker plaats heeft gemaakt voor Kepler de mysticus. Dat is maar schijn. Een echte mysticus heeft genoeg aan een inkijkje in de geest van God; dat levert hem een zekerheid die los staat van de wereld , en die nergens meer door aan het wankelen gebracht kan worden. Bij Kepler is dat niet zo. In de eerste plaats probeert hij het ontstaan van de geometrische figuren in sneeuw te verklaren uit de rangschikking van de deeltjes waaruit de kristallen zijn opgebouwd. Dat is een revolutionaire stap, die ver af staat van allerlei mystieke overwegingen. Hij probeert juist de oorzaak van de vorm in de materie zelf te vinden. En verder blijft voor Kepler de waarneming altijd doorslaggevend, ook in dit geval. Dat brengt hem er zelfs toe zijn hele theorie weer op losse schroeven te zetten.

 

Dum enim ista scribo, rursum ninxit et confertius quam nuper.

 

Want terwijl ik dit schrijf, heeft het weer gesneeuwd, en dichter nog dan onlangs.

 

Hij kijkt nog eens goed, en hij komt tot de conclusie dat de sneeuwkristallen met zes stralen altijd vlak zijn, ook als ze nog door de lucht dwarrelen. Alleen dikke sneeuwkorrels, zonder de fraaie uitsteeksels, hebben een ruimtelijke vorm, maar die zijn bijna rond. De octaŽder kan dus niet de figuur zijn die de sterren maakt.

 

Hoe zit het dan wel? Daar komt Kepler niet helemaal goed uit. Hij denkt dat het iets te maken heeft met het feit dat regelmatige zeshoeken het vlak zo mooi kunnen vullen, zonder iets open te laten. Maar er moet nog iets zijn, want het vierkant en de gelijkzijdige driehoek hebben dat vermogen ook. Is het omdat je uit driehoeken en vierkanten ook regelmatige ruimtelijke veelvlakken kunt maken, en uit zeshoeken niet? Kepler vermoedt dat er ook nog een vormgevend principe (formatrix facultas) in de materie zelf aanwezig is. Maar dat is een kwestie die hij verder aan de chemici (chymici) over laat.

 

De chemici hebben uitgevonden hoe het zit, maar dat was wel pas meer dan drie eeuwen later. De zeshoeken spelen inderdaad een rol en ook de formatrix facultas. Er zijn zelfs twee soorten formatrix facultas: covalente bindingen en waterstofbruggen. De structuur van ijs is te beschrijven als netwerken van zeshoekjes die aan elkaar gekoppeld zijn. Eťn zoín netwerk staat hieronder aan de linkerkant schematisch afgebeeld.

 

fig. 15

 

 

In dit plaatje zijn de posities van de middelpunten van de zuurstofatomen van water aangegeven met een rood bolletje en die van de waterstofatomen met een wit bolletje. Tussen twee zuurstofatomen zit altijd ťťn waterstofatoom en ieder waterstofatoom is altijd aan twee zuurstofatomen gebonden, maar telkens met twee verschillende bindingen. Aan de ene kant zit een waterstof met een covalente binding aan aan het zuurstofatoom (aangegeven met een kort streepje) en aan de andere kant met een waterstof brug (een langer streepje). Iedere zuurstofatoom heeft twee waterstofatomen waarmee hij door een covalente binding is gebonden; met die twee waterstofatomen vormt hij samen een watermolecuul. Het lijkt er op alsof er in de linker afbeelding ook zuurstofatomen zijn die maar ťťn waterstofatoom hebben, maar dat is toch niet zo. Ieder zuurstofatoom heeft namelijk ook nog een binding omhoog of omlaag en dat betekent dat ieder zuurstofatoom totaal vier bindingen heeft: twee covalente bindingen met waterstofatomen uit hetzelfde molecuul en twee waterstofbruggen met met waterstofatomen van andere moleculen. Die vier bindingen zijn gelijkmatig over de ruimte verdeeld. De zeshoekjes zijn ook niet vlak, zoals de zeshoekjes uit figuur 1, maar ze zigzaggen een beetje. Doordat de lagen aan elkaar gebonden zijn ontstaat er een oneindig groot netwerk, zoals dat schematisch is getekend aan de rechterkant van figuur 15. Om het een beetje overzichtelijk te houden heb ik daar alleen de zuurstofatomen getekend en heb ik de waterstofatomen weggelaten.

 

Het is duidelijk dat ijs een hexagonale symmetrie heeft Ė maar het is zeker geen dichte pakking. Integendeel, door de grote kooivormige ruimtes die er tussen de lagen zitten heeft ijs een relatief lage dichtheid. De dichtheid van ijs is kleiner dan die water, wat uitzonderlijk is, want meestal heeft de vaste stof een grotere dichtheid dan de bijbehorende vloeistof. Dat is de reden dat ijsblokjes in een glas met water blijven drijven. Als het ijs smelt kunnen de waterstofbruggen in het rooster van het ijs verbroken worden (de covalente bindingen natuurlijk niet) en kunnen de watermoleculen in de vloeistof water dichter bij elkaar komen.

 

Het is de hexagonale symmetrie van het rooster van ijs die verantwoordelijk is voor de symmetrie van de sneeuwvlokken. Ieder sneeuwkristal heeft als kern een vlak zeskantig prisma. Als de omstandigheden gunstig zijn kan er aan de hoekpunten van zoín prisma een versnelde kristalgroei plaatsvinden, omdat de diffusie daar sneller watermoleculen kan aanvoeren. Doordat de omstandigheden in de atmosfeer telkens wisselen kunnen er allerlei gecompliceerde vormen ontstaan, die toch hun zestallige symmetrie bewaren.

 

 

 

Het vermoeden van Kepler

Het is de wiskundigen in al die jaren niet gelukt om een analytisch bewijs te vinden voor het vermoeden van Kepler dat zijn dichtste stapeling ook de optimale is. Een van de redenen daarvoor is dat er nog een klein beetje ruimte over is als je een bol met twaalf gelijke bollen omringt (maar niet genoeg voor een dertiende) Ė de situatie ligt niet vast. Er zouden dus ook niet-regelmatige verdelingen kunnen bestaan die net iets efficiŽnter zijn dan de regelmatige kubische dichte pakking (ook al was er niemand die dat echt geloofde). Wel werd in de afgelopen eeuw een steeds lagere bovengrens gevonden voor wat er maximaal mogelijk was voor de packing efficiency. Rogers bewees in 1958 dat het maximaal haalbare moest liggen beneden de 77,964% en in 1988 wist een andere wiskundige dit nog terug te brengen tot 77,836%. Dat scheelde dus nog maar ruim drie procent, maar toch, een bewijs was het nog niet.

 

In 1998 kwam Tom Hales met de bewering dat hij het vermoeden van Kepler had bewezen. Hij gebruikte daarvoor een buitengewoon uitgebreid computerprogramma dat een paar maanden computertijd nodig had om alle berekeningen uit te voeren. Hales heeft het bewijs van meer dan 250 paginaís ingestuurd naar de Annals of Mathematics en de referees, die er jaren mee bezig zijn geweest, zijn er bijna 100% van overtuigd dat het bewijs correct is, maar helemaal zeker weten ze het niet. Het is onmogelijk om het uitgebreide computerbewijs helemaal met de hand te controleren. Annals of Mathematics zal alleen het theoretische gedeelte van het bewijs publiceren, het computergedeelte komt in een ander tijdschrift.

 

Veel wiskundigen hebben aan deze geschiedenis toch een vreemd gevoel overgehouden: is het vermoeden van Kepler nu wel of niet bewezen? Het is niet helemaal uit te sluiten dat over een aantal jaren toch iemand een fout in het computerprogramma vindt. Dit is een situatie waar wiskundigen niet aan gewend zijn; wiskundigen zijn gewend aan zekerheid. Ondertussen is Hales een project begonnen om de juistheid van zijn computerbewijs weer met computers te controleren; maar dat zal op zijn minst een aantal jaren in beslag nemen. De wiskundigen zullen nog even moeten wachten op zekerheid over het vermoeden van Kepler.

 

 

 

N.B. 1. Het eerst bewijs dat met een computer werd geleverd, dateert al weer van flink wat jaren terug. In 1976 bewezen Haken en Appel het vier-kleuren-probleem door een naar huidige maatstaven uiterst simpele computer alle 1482 mogelijk kaartconfiguraties te laten doorrekenen. Dat koste toen 1500 uur computertijd.

 

N.B. 2. Kepler heeft het in De nive sexangula over de getallen die nuals de getallen van Fibonacci bekend staan. Hij blijkt er van op de hoogte dat de de verhouding tussen twee opvolgende getallen van Fibonacci steeds dichter nadert tot de Gulden Snede.

 

N.B. 3. De derde wet van Kepler zegt dat het kwadraat van de omlooptijd van een planeet recht evenredig is met de derde macht van zijn gemiddelde afstand tot de zon. De eerste wet zegt dat de baan van een planeet een ellips is met de zon in een brandpunt en de tweede wet is de ďperkenwetĒ.

 

 

Rob Reijerkerk

 

 

BRONNEN.

 

De Latijnse tekst van De nive sexangula is te vinden op:

http://www.fh-augsburg.de/~harsch/Chronologia/Lspost17/Kepler/kep_stre.html

of op

http://www.thelatinlibrary.com/kepler/strena.html

 

Een fotografische afbeelding van de uitgave uit 1611 is te vinden op:

http://fotothek.slub-dresden.de/digisamm/buch000058.html

 

Ik beschikte over een Duitse vertaling uit de serie ďOstwalds Klassiker der exakten WissenschaftenĒ:

Johannes Kepler Von sechseckigen Schnee, vertaling, inleiding en noten van Dorothea Goetz, Geest und Portig, Leipzig 1987

 

Er bestaat ook een Engelse vertaling uit 1966 van de hand van Colin Hardie, maar die heb ik zo gauw niet kunnen vinden.

 

Over Kepler:

Arthur Koestler The Sleepwalkers Penguin Arkana, Penguin Books, Londen 1989 (oorspronkelijk uit 1959). Dit boek gaat ook over Copernicus en Brahe en GalileÔ, maar vooral over Kepler.

 

Afbeeldingen van de dodecaŽders, die je in de ruimte kunt draaien, zijn te vinden op:

http://mathworld.wolfram.com/HexagonalClosePacking.html

 

Op diezelfde prachtige website staat ook iets over het vermoeden van Kepler:

http://mathworld.wolfram.com/SpherePacking.html

 

Voor het bewijs van Hales: zie ook het artikel in de New York Times van 6 april 2004, te vinden op:

http://www.math.binghamton.edu/zaslav/Nytimes/+Science/+Math/sphere-packing.20040406.html

 

Een website over de beginselen van de kristallografie:

http://www.chem.ox.ac.uk/icl/heyes/structure_of_solids/Lecture1/Lec1.html

 

En voor sneeuwvlokken natuurlijk ook:

http://www.its.caltech.edu/~atomic/snowcrystals/

 

De figuren 6, 7, 9 en 10 zijn bewerkingen van de originele afbeeldingen uit De nive sexangula. Figuur 5 komt van de Engelstalige versie van de Wikipedia, maar is op vele plaatsen op het net te vinden.

 

 

© Rob Reijerkerk 2005

 

eerste versie af op 10 april 2005

kleine toevoegingen in verbeteringen op 25 april 2005

 

home