|
||
|
Uit de rubriek WISKUNDE. |
De sneeuw van Kepler. Johannes Kepler staat vooral bekend als de man van de drie wetten die het heliocentrische wereldbeeld van Copernicus een wetenschappelijke basis hebben gegeven. Maar hij heeft zich ook met veel kleinschaliger zaken beziggehouden: hij was een van de eersten die zich afvroegen of de opbouw van kristallen soms uit de rangschikking van de deeltjes verklaard kon worden. In de zestiende en
zeventiende eeuw was het gewoonte om met het begin van het nieuwe jaar
cadeautjes te geven, en niet met kerstmis. Het was natuurlijk raadzaam om bij
die gelegenheid je weldoeners niet over te slaan. Bij de aanvang van het jaar
1611 verblijdde Kepler, die toen als hofastronoom te Praag woonde, zijn
vriend en beschermer Wackher von Wackenfels met een klein boekje, getiteld Strena,
seu de nive sexangula, dat is in het Nederlands: Een geschenkje, oftewel
over de zeshoekige sneeuwvlok.
Snow flake by Wilson Bentley, 1902 Het boekje begint met
een opdracht waarin Kepler onder virtuoos vertoon van eruditie speelt met de
verschillende manieren waarop je het woord “niets” kunt gebruiken. Wat moet
hij toch geven aan zijn vriend, die niets leuk vindt? Na uitvoerige
overwegingen komt hij tot de conclusie dat het een sneeuwvlok moet zijn, want
dat is bijna niets. Nam si Germano
quaeras, nix quid sit, respondebit Nihil, siquidem Latine possit. Want als je aan een Duitser vraagt wat “nix” is, dan zal hij “nihil” antwoorden. als hij tenminste een beetje latijn kent. Daarbij gaat Kepler er
kennelijk van uit dat de gemiddelde Duitser genoeg latijn kent om te weten dat
“niets” in het latijn “nihil” is, maar te weinig om te weten dat het latijnse
woord “nix” de betekenis “sneeuw” heeft. Maar afgezien van alle grappen is de
opdracht ook nog interessant omdat Kepler naast onder andere Plato en
Socrates ook Epicurus noemt. Eeuwenlang was de atoomtheorie van Epicurus door
de Kerk als “goddeloos” verketterd, maar kennelijk was Epicurus in de kringen
waarin Kepler verkeerde, inmiddels toch zo bekend, dat hij er terloopse
toespelingen op kon maken. Het woord “atoom” (atomus) komt zelfs een
paar keer voor in De nive sexangula. Misschien wel even veelbetekenend
is dat hij in zijn inleiding Aristoteles niet noemt. Aristoteles, die een
paar eeuwen lang het academische debat had overheerst, begon al aardig uit de
mode te raken – wat niet betekent dat er in dit boekje helemaal geen
invloeden van Aristoteles zijn aan te wijzen. Na de opdracht is het
trouwens uit met de scherts. Zo, nu moet er gewerkt worden. De vraag die
Kepler stelt is deze: waarom hebben de sneeuwvlokken altijd een zestallige
symmetrie en nooit een vijftallige of een zeventallige? Sneeuw komt voort uit
waterdamp, en waterdamp heeft geen structuur, dus daar kan het niet vandaan
komen. Om een antwoord op deze vraag te vinden gaat Kepler eerst te rade bij
andere voorbeelden van zestallige symmetrie die hij in de natuur is
tegengekomen. Allereerst kijkt hij naar de bijen. Het is natuurlijk algemeen
bekend dat de cellen in een honingraat de vorm van zeshoeken hebben, en dat
ze zo een heel vlak vullen. Maar Kepler gaat nog een stapje verder: hij heeft
ook naar de bodem van de cellen gekeken en tot zijn vreugde heeft hij
vastgesteld dat de bodem de vorm heeft van drie gelijkzijdige ruiten, die
naar beneden een beetje uitsteken. Dat ziet er ongeveer zo uit (in drie
cellen heb ik de ruiten weggelaten).
fig. 1 Als je vanaf de opening
de cellen inkijkt, dan bevindt het diepste punt zich op de plek van de dikke
zwarte stip. Maar je kunt de zaak ook omkeren. Als je van de andere kant af
kijkt, van de kant waar de cellen gesloten zijn, dan geven de stippen juist
de plekken aan waar de afsluiting van de cel als een tentdak omhoog steekt.
Tussen drie stippen zit nu weer een zeshoekje dat in het midden omlaag gaat,
en waar de uitstekende bodem van een andere cel precies in zou passen. Dat
hebben de bijen ook gezien en zij bouwen een honingraat uit twee lagen
cellen, die met de bodem tegen elkaar liggen.
fig. 2 Als de stippen de
plaats aangeven waar de dakjes van de cellen aan de andere kant omhoogsteken,
dan wijst het midden van de gekleurde zeshoek juist omlaag (figuur 2 links).
De lagen cellen die rug aan rug liggen, passen, met een kleine verschuiving,
precies in elkaar (figuur 2 rechts). Dat bracht Kepler op de
gedachte dat hij met de ruiten een regelmatige veelvlak zou kunnen construeren,
waarmee hij de hele ruimte zou kunnen vullen. Hij voorzag in gedachten een
cel uit een honingraat van een dekseltje dat precies gelijk was aan de bodem.
Als hij dat deksel in de goede positie plaatste, en de juiste afstand in acht
nam, dan kreeg hij een figuur met twaalf identieke ruiten als zijvlakken, de
rhombendodecaëder (het ruitentwaalfvlak).
fig.3 Zo ziet de
rhombendodecaëder er uit. Ik vind het lastig om hem te tekenen, en ik vind
het ook lastig om me de figuur voor te stellen aan de hand van een
perspectievische tekening. Dat komt voor een deel omdat ons oog de niet te
onderdrukken neiging heeft om een ruit in perspectief als een rechthoek te
interpreteren. Ik stel me de rhombendodecaëder voor als een zeshoekige koker
die gevormd wordt een zigzaggende band van zes ruiten, met bovenop en onderop
een hoedje van drie ruiten (een zo’n hoedje is gekleurd in figuur 3). Als je
van bovenaf kijkt zitten de ruiten van het hoedje aan de onderkant precies
tegengesteld georiënteerd aan die van de bovenkant. Een vlakke “uitslag” van
die drie stukken zou er ongeveer zo uit moeten zien (figuur 4 links):
fig. 4 De rode lijnen in het
bovenaanzicht (figuur 4 rechts) geven de oriëntatie van de ruiten van de
onderste deksel aan. Zo kun je je ook een goede
voorstelling maken van de manier waarop de rhombendodecaëders de hele ruimte
kunnen vullen: eerst maak je een laag van zeshoekjes die tegen elkaar aan
zitten zoals in figuur 2, en de uitstekende bodems van de volgende laag van
rhombendodecaëders passen dan precies in de holtes die zijn ontstaan. De
kleur van figuur 3 past in de kleur van figuur 2. Dit proces kun je eindeloos
naar alle kanten herhalen. Kepler was buitengewoon
verheugd over deze ontdekking. Kepler was gek op regelmatige veelvlakken. In
navolging van Plato was hij tot de overtuiging gekomen dat er achter alle
natuurverschijnselen wiskundige waarheden waren verborgen. Plato had in zijn
Timaeus verkondigd dat de kleinste deeltjes van de elementen vuur, lucht,
water en aarde de vorm hadden van de vier regelmatige veelvlakken tetraëder,
octaëder, icosaëder en kubus. Plato hield dan nog een vijfde figuur over: de
dodecaëder, met regelmatige vijfhoeken als zijvlakken, die hij aan de hele
cosmos toewees. De vijf regelmatige veelvlakken staan sindsdien ook bekend
als de “Platoonse lichamen”, hoewel Plato zeker niet de ontdekker van deze
figuren was. Wat Plato voor de wereld van het kleine had gedaan, probeerde
Kepler voor de wereld van het grote te doen. Dit leidde tot een op het eerste
gezicht bizarre constructie: Keplers veel gereproduceerde model van het
zonnestelsel, dat gebaseerd was op de vijf Platoonse lichamen met de
bijbehorende in- en omgeschreven bollen (met de zon in het midden, zoals
Copernicus had bedacht!).
fig. 5 uit Keplers Mysterium Cosmographicum
(1596). Hier is het binnenste deel van het model weergegeven, met de zon omringd
door een octaëder, een icosaëder en een dodecaëder; er omheen zitten nog een
de tetraëder en een kubus (met een bolschil ertussen). De tussenliggende
bolschillen leggen de posities van de planeten vast en de omgeschreven bol
van de kubus levert dan de hemel van de vaste sterren. Kepler meende dat hij
op deze manier de onderlinge afstanden van de planeetbanen kon verklaren.
Achteraf bezien was dat natuurlijk een onbezonnen poging, maar uiteindelijk
leverde Keplers zoektocht naar wiskundige verbanden toch een schitterende
resultaat op. In zijn latere Harmonices
Mundi (1619) geeft hij het
verband tussen de gemiddelde stralen van de planetenbanen en de omlooptijden –
maar die betrekking was dan ook niet gebaseerd op meetkundige speculaties,
maar op astronomische waarnemingen, die van hemzelf en die van Tycho Brahe.
Deze wetmatigheid (de derde wet van Kepler) zou later Newton inspireren tot
zijn beroemde gravitatiewet. Terug naar de
rhombendodecaëder. Dit veelvlak hoort niet bij de Platoonse lichamen, al was
het maar omdat niet alle hoeken gelijk zijn. Bij sommige hoekpunten (zes van
de veertien) komen er vier zijden bij elkaar en bij de andere drie. En het
hoort ook niet bij de Archimedische lichamen, die Keplers speciale
belangstelling hadden (die hebben twee verschillende regelmatige veelhoeken
als zijvlakken). En toch heeft de rhombendodecaëder een zekere betovering: je
ziet meteen dat hij een hoge mate van symmetrie moet hebben, maar je ziet
niet meteen wat voor symmetrie. Bij nadere inspectie blijkt dat hij dezelfde
symmetrie heeft als de kubus. Kepler kende een
voorbeeld van een rhombendodecaëder dat in de natuur voorkwam: de pitten van
een granaatappel. Ik heb wel eens een granaatappel opengemaakt, maar het is
me eerlijk gezegd toen niet opgevallen dat de pitten de vorm van een de
rhombendodecaëder hadden. Maar misschien was de granaatappel niet oud genoeg.
Kepler zegt dat de rhombendodecaëdrische pitten pas ontstaan in oudere
granaatappels, omdat dan de schil hard wordt en de ruimte voor de pitjes (die
nog doorgroeien) beperkt. En nu maakt Kepler een briljante stap: hij koppelt
deze overwegingen aan een beschouwing over de manier waarop de ruimte met
bollen gevuld kan worden.
fig.6 Hij begint met bollen
op een vlakke ondergrond. Er zijn nu twee regelmatige rangschikkingen die
voor de hand liggen; ze staan hierboven afgebeeld. Het is duidelijk dat
methode A de ruimte minder goed gebruikt dan methode B: de tussenruimtes
tussen de bollen zijn veel groter wanneer ze in vierkantjes liggen dan
wanneer ze in driehoekjes liggen. Allereerst onderzoekt Kepler hoe je meer
lagen kunt maken, uitgaande van rangschikking A. Je kunt de tweede laag zo
aanbrengen dat iedere bol uit de volgende laag precies boven een bol uit de
vorige laag ligt; iedere bol staat dan direct in contact met zes andere
bollen, namelijk vier in zijn eigen laag , een onder en een boven. Als je in
deze stapeling de bollen tegen elkaar zou laten duwen, zoals de pitten van de
granaatappel, dan zouden ze vervormd worden tot kubussen. Het is duidelijk dat
dit een onvoordelige manier is om de ruimte te vullen; tussen de bollen
blijven grote tussenruimtes over. In de moderne kristallografie staat deze
manier van stapelen bekend al simple cubic of primitive cubic
(kristallografen spreken Engels). Een vrij simpele berekening leert dat bij
deze stapeling de bollen 52,4% van de ruimte in beslag nemen, of zoals de
kristallografen het uitdrukken: de packing efficiency is 52,4%. Maar hoe zit dat dan
als je bollen van de tweede laag niet recht boven de bollen van de eerste
laag legt, maar in de holletjes tussen de bollen? Dat moet een gunstiger
stapeling opleveren.
fig. 7 Dat doet het zeker. Als
je op deze manier doorstapelt wordt iedere bol (met uitzondering van de
bollen aan de rand natuurlijk) omringd door twaalf andere bollen: vier in
dezelfde laag, vier onder en vier boven. Deze manier van opstapelen staat
onder de kristallografen bekend als cubic close packed en hij wordt
schematisch weergegeven met de volgende eenheidscel, waarin de rode stippen
de plaatsen van de middelpunten van de bollen aangeven..
fig. 8 Als je je realiseert dat deze eenheidscel zich naar alle kanten
oneindig vaak kan herhalen, dan is makkelijk in te zien dat bij deze
stapeling inderdaad iedere bol is omringd door twaalf andere, op de manier
zoals hierboven is beschreven. Het grondvlak van de eenheidscel is terug te
vinden in plaatje A van figuur 6 of figuur 7, maar dan 45 graden gedraaid.
Omdat de middelpunten van de bollen zich op de hoekpunten van de
eenheidskubus bevinden, en ook in het midden van de zijvlakken, wordt deze
stapeling ook face centered cubic genoemd. Nu komen we tot een
veel hogere packing efficiency. Je kunt de packing efficiency
als volgt berekenen. Allereerst is van belang om in te zien dat drie bollen
die samen de diagonaal van een zijvlak bezetten, elkaar raken. Als je de
straal van de bollen met r aangeeft, dan is de lengte van de diagonaal
4r en heeft de eenheidskubus een ribbe van 2 r √2. Het volume van de eenheidscel is dan 16 r3
√2. De eenheidscel bevat vier
bollen; dat kun als volgt zien. Een bol op een hoekpunt zit maar voor een
achtste gedeelte in de eenheidscel, maar omdat er ook acht hoeken zijn levert
dat één hele bol. De bollen in het midden van de zijvlakken tellen maar half
mee, maar omdat er zes zijvlakken zijn levert dat nog eens drie bollen, in
totaal dus vier. Vier bollen hebben samen een inhoud van 4 x 4/3 π r3.
De packing efficiency kun je nu uitrekenen als 4 x 4/3 π r3
gedeeld door 16 r3 √2. Dat is gelijk aan π gedeeld
door 3
√2 en dat is 74,05%. Heel wat beter dan de eenvoudige kubische
stapeling dus. Kepler meende zelfs dat het de beste stapeling was die je kunt
bereiken. Coaptatio
fiet arctissima, ut nullo praeterea ordine plures globuli in idem vas
compingi queant. Deze stapeling
is de dichtst mogelijke, en met geen enkele andere rangschikking kunnen er
meer bollen in dezelfde inhoud ondergebracht worden. Deze uitspraak staat
bekend als “het vermoeden van Kepler”. Kepler leverde geen bewijs voor zijn
uitspraak, en dat heeft hij ook niet geprobeerd. Hij heeft ook geen
berekening gegeven voor de packing efficiency, maar hij begreep
intuïtief dat het niet beter kon. De meeste wiskundigen en natuurkundigen die
zich na hem met het probleem hebben bezig gehouden, waren het met hem eens,
maar verrassend genoeg was het niet zo een voudig om aan te tonen dat het ook
echt zo was. De dichtste stapeling
gaf Kepler een verklaring voor de vorm van de granaatappelpitten. De pitjes
in de vrucht rangschikken zich zó dat ze de benauwde ruimte in de schil zo
goed mogelijk gebruiken, en als ze nog doorgroeien, worden de in aanleg
bolvormige pitten door de druk van hun buren vervormd tot rhombendodecaëders.
De twaalf zijvlakken van de regelmatige veelvlakken corresponderen met de de twaalf buren waar de pitten tegen aan duwen, en ook de
vorm komt precies overeen. Of om het iets wiskundiger uit te drukken: de
rhombendodecaëder is de Voronoi-cel van het rooster dat hoort bij cubic
close packed – maar dat komt ongeveer op hetzelfde neer. Zo heeft Kepler
gevonden dat de dodecaëdervorm voortvloeit uit een materiële noodzaak (necessitas
materialis) en niet bepaald wordt door de aard van de boom (essentia
animae in hac arbore). En bij de bijen? Bij de
bijen is het net zo iets. De bijen werken met hun ronde lijfjes naast elkaar
en ze proberen het vlak zo goed mogelijk te benutten. Van alle figuren die
het vlak kunnen vullen heeft de zeshoek het grootste oppervlak en de ruiten
in de bodem van de cel zijn ook bijzonder handig, omdat de bijen zo materiaal
kunnen sparen door de bodem naar twee kanten te gebruiken (zie figuur 2). Ook
hier vindt Kepler een materiële noodzaak. Nog een
mogelijkheid? Vervolgens bekijkt
Kepler de stapelingen die mogelijk zijn als je begint met een laag bollen die
gerangschikt zijn in driehoekjes, zoals in afbeelding B van figuur 6 of
figuur 7. Iedere bol in de eerste laag is omringd door zes andere. Deze laag
heeft ook een zesvoudige (hexagonale) symmetrie. Natuurlijk kun je ook
nu weer de bollen van de tweede laag recht boven de bollen van de eerste laag
zetten; zo krijg je de stapeling die simple hexagonal heet. Iedere bol
heeft acht bollen om zich heen: zes uit dezelfde laag en een onder en een
boven. Voor wat het benutten van de ruimte betreft doet deze stapeling het
beter dan simple cubic (dat was te verwachten), maar minder goed dan cubic
close packed; de packing efficiency voor simple hexagonal is 60,5%. Maar Kepler heeft nog
een mogelijkheid: begin met een driehoekige laag bollen en leg de bollen van
de volgende laag in de kuiltjes van de eerste. Om duidelijk te maken wat hij
bedoelt, bouwt Kepler in gedachten een driezijdige pyramide van bollen. Ik
neem aan dat de meeste van tijdgenoten hierin direct de stapeling van
kanonskogels hebben herkend.
fig. 9 Hij begint met een
driehoek van 15 bollen (laag E). In de holtes van die laag komen 10 bollen
die ook weer een driehoek vormen (laag D) en dan 6 en dan 3 en dan 1. De
getallen 1, 3, 6, 10, 15 .... staan
dan ook bekend als “driehoeksgetallen” (zie Duivelse wiskunde). En nu heeft
Kepler opnieuw de dichtste pakking te pakken. Iedere bol is weer omringd door
twaalf andere bollen; zes in dezelfde laag, drie onder en drie boven. Het
lijkt alsof hier nog een nieuwe manier is gevonden om een optimaal gebruik
van de ruimte te maken, maar dat is niet zo. Bij nader inzien levert deze
manier van stapelen eenzelfde stapeling als die we al eerder hebben gezien: cubic
close packed met een packing efficiency van 74,05%. Ook Kepler zag dat. Ita in solida coaptatione arctissima non potest ordo
triangularis sine quadrangulari nec vicissim. Zo kan er bij een zo dichtmogelijke stapeling geen driehoekige ordening zijn zonder een vierhoekige ordening – en omgekeerd. Verbazingwekkend is het
wel. Het maakt kennelijk niet uit of je een driehoekige stapeling van
kanonskogels maakt, zoals in figuur 9, of dat er een een
vierzijdige pyramide mee bouwt – de rangschikking die je krijgt is in beide
gevallen, afgezien van de oriëntatie ten opzichte van het horizontale vlak,
hetzelfde. Op het eerste gezicht is dat vreemd, omdat de aantallen
kanonskogels per horizontale laag in de twee gevallen verschillend zijn: bij
de driehoekige stapeling worden de aantallen gegeven door de
driehoeksgetallen (zie hierboven) en bij de vierkante stapeling door de
kwadraten. Maar als je met knikkers de vierkante stapeling nabouwt, dan zie
je in het zijvlak van de pyramide al gauw de driehoekige stapeling uit figuur
9 E verschijnen, waarbij iedere knikker in dat vlak door zes knikkers wordt
omringd. Het is wat lastiger om in de driehoekige pyramide ook een vlak met
een vierkante rangschikking te vinden, zoals die te zien is in figuur 6 A
of figuur 7 A. Als je een tijdje
rustig kijkt dan zie je dat er schuin door zo’n pyramide inderdaad een
dergelijk vlak loopt. Er is trouwens wel een
rekenkundig verband tussen de aantallen knikkers of kanonskogels in een
horizontale laag van de ene pyramide en in een horizontale laag van de andere
pyramide: als je het aantal in de n-de laag van een driehoekige
pyramide neemt (van de top af gerekend), en je telt er het aantal in de
voorafgaande de laag bij op, dan vindt je het aantal in de n-de laag
van de vierkante pyramide (ook van de top af gerekend, natuurlijk). Huiswerk: bewijs deze
eigenschap (klik hier
voor de uitwerking). Kepler was er niet van
op de hoogte, maar tegenwoordig is het een elementair gegeven in de
kristallografie: er is nog een andere mogelijkheid voor een dichtste pakking,
die wèl verschilt van de cubic close packed stapeling. We beginnen
weer met de “driehoekige” rangschikking op een vlakke ondergrond, zoals in
plaatje B, en in de kuiltjes leggen we weer een tweede laag (aangegeven met
rode cirkels).
fig. 10 Er zijn nu kuiltjes
waar geen bol onder ligt (nummer 1 in de rechter figuur) en kuiltjes waar wel
een bol onder ligt (nummer 2 in de rechter figuur) Je kunt ze niet allebei
tegelijk gebruiken, want als je voor kuiltjes nummer 1 kiest, zijn de
kuiltjes nummer 2 geblokkeerd en omgekeerd. Het beste is om dit zelf even te
controleren met knikkers of kanonskogels, of met wat maar voorhanden is. Als
je voor de kuiltjes nummer 1 beslist, dan doe je in wezen hetzelfde als
wanneer je de driehoekige stapels van kanonskogels bouwt, en krijg je weer cubic
close packing. Maar de keuze voor de kuiltjes nummer 2 levert een nieuwe
mogelijkheid op: de bollen van de derde laag staan recht boven die van de
eerste laag en je krijgt een stapeling
met de naam hexagonal close packed. Dit is de eenheidscel voor hexagonal close packed.
fig. 11 Let op: het perspectief
is hier enigszins bedriegelijk. Het grondvlak van de eenheidscel is geen
vierkant, zoals je misschien zou denken, maar een ruit met hoeken van 60 en
120 graden. De zijden van die ruit zijn uiteraard gelijk (anders was het geen
ruit), maar de hoogte van de eenheidscel heeft een afwijkende maat. Als je er
van uitgaat dat de eenheidscel gevuld wordt door bollen met een straal r die
elkaar raken, dan hebben de zijden van het grondvlak een lengte van 2 r
en heeft de eenheidscel een hoogte van 4/3 r √6. Dat betekent
dat de hoogte van de eenheidscel ongeveer 1,63 zo groot is als een zijde van
het grondvlak. In de eenheidscel zijn de drie lagen goed te zien, en het is
ook duidelijk dat de bollen uit de derde laag recht boven de bollen uit de
eerste laag staan. Het lijkt misschien of in de eenheidscel de bollen uit de
eerste en derde laag oververtegenwoordigd zijn, maar dat is maar schijn. De
bollen uit de eerste en de derde laag steken buiten de eenheidcel uit; zowel
voor de eerste als voor de derde laag tellen ze samen telkens maar voor één
bol – even veel als die ene van de tweede laag. Het is duidelijk dat hexagonal close packed dezelfde packing efficiency heeft als cubic close packed; het feit
dat de derde laag een klein stukje is opgeschoven heeft geen invloed op het
gebruik van de ruimte. Ook hexagonal close packed heeft een packing efficiency van 74,05%. Als de zachte pitten in
een
hexagonal close packed
stapeling doorgroeien en tegen elkaar aanduwen, krijg je geen
rhombendodecaëders, maar een “verdraaide” versie (twisted dodecahedron)
die ook ruimtevullend is. Deze verdraaide dodecaëder heeft niet alleen maar
ruiten als zijvlakken: naast zes ruiten zijn er ook nog zes trapezia. fig. 12 Ook van deze figuur is
moeilijk een beeld te krijgen op grond van een min of meer perspectivisch
plaatje. Om het iets duidelijker te maken haal ik de twee deksels van het
veelvlak, die uit ruiten bestaan, er af , zodat ik een zeshoekige koker
overhoud die uit trapezia is opgebouwd. Voor de drie onderdelen van de verdraaide
dodecaëder krijg ik dan de volgende “uitslagen”.
fig. 13 De rode lijnen in het
bovenaanzicht in het rechter plaatje van figuur 13 laten zien dat de ruiten
van de onderkant nu hetzelfde geörienteerd zijn als de ruiten van de
onderkant. Bij de gewone rhombendodecaëder lagen ze precies omgekeerd
(vergelijk figuur 4 rechts). Het veelvlak dat we nu hebben, is in wezen op
dezelfde manier ruimtevullend als de gewone rhombendodecaëder. Ook met de
verdraaide dodecaëder kun je een laag met zeshoekjes vullen, en de
uitstekende dekseltjes van de volgende laag passen weer precies in de holtes
die er zo ontstaan. De symmetrie van de verdraaide dodecaëder is wel een stuk
overzichtelijker dan die van de rhombendocecaëder: er zijn geen viertallige
assen meer, nog maar één drietallige as en nog maar drie tweetallige assen. In de kristallografie
spelen de dichtste pakkingen, zowel de kubische als de hexagonale, een grote
rol. Omdat de atomen van de metalen bij benadering als losse bollen beschouwd
kunnen worden, hebben veel metalen in de kristalvorm een van deze
stapelingen. Zilver en goud zijn cubic close packed
(face centered cubic), zink en cadmium zijn hexagonal close packed.
Snow flake by Wilson Bentley, 1902 En de sneeuw? Om de vorm van de
sneeuwkristallen te verklaren neemt Kepler zijn toevlucht tot een van de
Platoonse figuren, en wel de octaëder. Allereerst verkondigt hij dat
sneeuwvlokken die de vorm van een zeshoekige ster hebben, bij hun ontstaaan
niet vlak zijn, maar ruimtelijk. Hij
heeft daar een goed argument voor: sneeuwkristallen ontstaan in de ruimte, en
niet op een oppervlak. Hij neemt aan dat een sneeuwkristal wordt gevormd door
de inwerking van de koude op waterdamp, of, wat volgens hem op hetzelfde
neerkomt, doordat de warmte zich terugtrekt naar naar
het middelpunt van het kristal (hier is het idee van Aristoteles te herkennen
dat warmte en koude de actieve eigenschappen zijn die veranderingen in de
stof veroorzaken). Dit proces kan in de ruimte vanaf alle kanten plaats
vinden, en dat betekent dat een sneeuwkristal als hij gevormd wordt, ook een
ruimtelijke vorm moet hebben. Je zou kunnen zeggen dat Kepler door
symmetrie-overwegingen tot de conclusie komt dat een sneeuwvlok bij zijn
ontstaan niet vlak kan zijn. Als hij gevormd wordt bestaat
een sneeuwkristal volgens Kepler uit drie loodrecht op elkaar staande,
gevederde staafjes die in het midden met elkaar verbonden zijn. Deze drie
staafjes vertegenwoordigen de drie coördinaten van de ruimte. Pas als zo’n
sneeuwkristal op de grond terecht komt zakt hij door zijn pootjes en wordt
hij vlak. De geometrische basis voor deze constructie wordt geleverd door de
drie lange assen van een octaëder. Die vorm ontstaat doordat de bolletjes die
bij het bevriezen van waterdamp gevormd worden, zich in een simple cubic stapeling
aan elkaar hechten. Een kubische stapeling kan makkelijk aanleiding geven tot
een octaëder, want de kubus en de octaëder zijn verwante figuren (“het zijn
duale veelvlakken,” zouden de wiskundigen nu zeggen – “zij zijn als man en
vrouw” zegt Kepler – zie figuur 14). En het is ook niet vreemd dat de kubus
en de octaëder vorm geven aan materie, want ze bestaan, net als de andere
Platoonse figuren, in de geest van de scheppende God (in Dei creatoris
mente).
fig. 14 Hier lijkt het er even
op dat Kepler de onderzoeker plaats heeft gemaakt voor Kepler de mysticus.
Dat is maar schijn. Een echte mysticus heeft genoeg aan een inkijkje in de
geest van God; dat levert hem een zekerheid die los staat van de wereld , en
die nergens meer door aan het wankelen gebracht kan worden. Bij Kepler is dat
niet zo. In de eerste plaats probeert hij het ontstaan van de geometrische
figuren in sneeuw te verklaren uit de rangschikking van de deeltjes waaruit
de kristallen zijn opgebouwd. Dat is een revolutionaire stap, die ver af
staat van allerlei mystieke overwegingen. Hij probeert juist de oorzaak van
de vorm in de materie zelf te vinden. En verder blijft voor Kepler de
waarneming altijd doorslaggevend, ook in dit geval. Dat brengt hem er zelfs toe
zijn hele theorie weer op losse schroeven te zetten. Dum enim ista
scribo, rursum ninxit et confertius quam nuper. Want terwijl ik dit schrijf, heeft het weer gesneeuwd,
en dichter nog dan onlangs. Hij kijkt nog eens
goed, en hij komt tot de conclusie dat de sneeuwkristallen met zes stralen
altijd vlak zijn, ook als ze nog door de lucht dwarrelen. Alleen dikke
sneeuwkorrels, zonder de fraaie uitsteeksels, hebben een ruimtelijke vorm,
maar die zijn bijna rond. De octaëder kan dus niet de figuur zijn die de
sterren maakt. Hoe zit het dan wel?
Daar komt Kepler niet helemaal goed uit. Hij denkt dat het iets te maken
heeft met het feit dat regelmatige zeshoeken het vlak zo mooi kunnen vullen,
zonder iets open te laten. Maar er moet nog iets zijn, want het vierkant en
de gelijkzijdige driehoek hebben dat vermogen ook. Is het omdat je uit
driehoeken en vierkanten ook regelmatige ruimtelijke veelvlakken kunt maken,
en uit zeshoeken niet? Kepler vermoedt dat er ook nog een vormgevend principe
(formatrix facultas) in de materie zelf aanwezig is. Maar dat is een
kwestie die hij verder aan de chemici (chymici) over laat. De chemici hebben
uitgevonden hoe het zit, maar dat was wel pas meer dan drie eeuwen later. De
zeshoeken spelen inderdaad een rol en ook de formatrix facultas. Er
zijn zelfs twee soorten formatrix facultas: covalente bindingen en
waterstofbruggen. De structuur van ijs is te beschrijven als netwerken van
zeshoekjes die aan elkaar gekoppeld zijn. Eén zo’n netwerk staat hieronder
aan de linkerkant schematisch afgebeeld.
fig. 15 In dit plaatje zijn de
posities van de middelpunten van de zuurstofatomen van water aangegeven met
een rood bolletje en die van de waterstofatomen met een wit bolletje. Tussen
twee zuurstofatomen zit altijd één waterstofatoom en ieder waterstofatoom is
altijd aan twee zuurstofatomen gebonden, maar telkens met twee verschillende
bindingen. Aan de ene kant zit een waterstof met een covalente binding aan aan het zuurstofatoom (aangegeven met een kort streepje)
en aan de andere kant met een waterstof brug (een langer streepje). Iedere
zuurstofatoom heeft twee waterstofatomen waarmee hij door een covalente
binding is gebonden; met die twee waterstofatomen vormt hij samen een
watermolecuul. Het lijkt er op alsof er in de linker afbeelding ook
zuurstofatomen zijn die maar één waterstofatoom hebben, maar dat is toch niet
zo. Ieder zuurstofatoom heeft namelijk ook nog een binding omhoog of omlaag
en dat betekent dat ieder zuurstofatoom totaal vier bindingen heeft: twee
covalente bindingen met waterstofatomen uit hetzelfde molecuul en twee
waterstofbruggen met met waterstofatomen van andere
moleculen. Die vier bindingen zijn gelijkmatig over de ruimte verdeeld. De
zeshoekjes zijn ook niet vlak, zoals de zeshoekjes uit figuur 1, maar ze zigzaggen
een beetje. Doordat de lagen aan elkaar gebonden zijn ontstaat er een
oneindig groot netwerk, zoals dat schematisch is getekend aan de rechterkant
van figuur 15. Om het een beetje overzichtelijk te houden heb ik daar alleen
de zuurstofatomen getekend en heb ik de waterstofatomen weggelaten. Het is duidelijk dat
ijs een hexagonale symmetrie heeft – maar het is zeker geen dichte pakking.
Integendeel, door de grote kooivormige ruimtes die er tussen de lagen zitten
heeft ijs een relatief lage dichtheid. De dichtheid van ijs is kleiner dan
die water, wat uitzonderlijk is, want meestal heeft de vaste stof een grotere
dichtheid dan de bijbehorende vloeistof. Dat is de reden dat ijsblokjes in
een glas met water blijven drijven. Als het ijs smelt kunnen de
waterstofbruggen in het rooster van het ijs verbroken worden (de covalente
bindingen natuurlijk niet) en kunnen de watermoleculen in de vloeistof water
dichter bij elkaar komen. Het is de hexagonale
symmetrie van het rooster van ijs die verantwoordelijk is voor de symmetrie
van de sneeuwvlokken. Ieder sneeuwkristal heeft als kern een vlak zeskantig
prisma. Als de omstandigheden gunstig zijn kan er aan de hoekpunten van zo’n
prisma een versnelde kristalgroei plaatsvinden, omdat de diffusie daar
sneller watermoleculen kan aanvoeren. Doordat de omstandigheden in de
atmosfeer telkens wisselen kunnen er allerlei gecompliceerde vormen ontstaan,
die toch hun zestallige symmetrie bewaren. Het vermoeden van KeplerHet is de wiskundigen in al die jaren niet gelukt om een analytisch
bewijs te vinden voor het vermoeden van Kepler dat zijn dichtste stapeling
ook de optimale is. Een van de redenen daarvoor is dat er nog een klein
beetje ruimte over is als je een bol met twaalf gelijke bollen omringt (maar
niet genoeg voor een dertiende) – de situatie ligt niet vast. Er zouden dus
ook niet-regelmatige verdelingen kunnen bestaan die net iets efficiënter zijn
dan de regelmatige kubische dichte pakking (ook al was er niemand die dat
echt geloofde). Wel werd in de afgelopen eeuw een steeds lagere bovengrens
gevonden voor wat er maximaal mogelijk was voor de packing efficiency.
Rogers bewees in 1958 dat het maximaal haalbare moest liggen beneden de
77,964% en in 1988 wist een andere wiskundige dit nog terug te brengen tot 77,836%.
Dat scheelde dus nog maar ruim drie procent, maar toch, een bewijs was het
nog niet. In 1998 kwam Tom Hales
met de bewering dat hij het vermoeden van Kepler had bewezen. Hij gebruikte
daarvoor een buitengewoon uitgebreid computerprogramma dat een paar maanden
computertijd nodig had om alle berekeningen uit te voeren. Hales heeft het
bewijs van meer dan 250 pagina’s ingestuurd naar de Annals of Mathematics
en de referees, die er jaren mee bezig zijn geweest, zijn er bijna
100% van overtuigd dat het bewijs correct is, maar helemaal zeker weten ze
het niet. Het is onmogelijk om het uitgebreide computerbewijs helemaal met de
hand te controleren. Annals of Mathematics zal alleen het theoretische
gedeelte van het bewijs publiceren, het computergedeelte komt in een ander
tijdschrift. Veel wiskundigen hebben
aan deze geschiedenis toch een vreemd gevoel overgehouden: is het vermoeden
van Kepler nu wel of niet bewezen? Het is niet helemaal uit te sluiten dat
over een aantal jaren toch iemand een fout in het computerprogramma vindt.
Dit is een situatie waar wiskundigen niet aan gewend zijn; wiskundigen zijn
gewend aan zekerheid. Ondertussen is Hales een project begonnen om de
juistheid van zijn computerbewijs weer met computers te controleren; maar dat
zal op zijn minst een aantal jaren in beslag nemen. De wiskundigen zullen nog
even moeten wachten op zekerheid over het vermoeden van Kepler. N.B. 1. Het eerst
bewijs dat met een computer werd geleverd, dateert al weer van flink wat
jaren terug. In 1976 bewezen Haken en Appel het vier-kleuren-probleem door
een naar huidige maatstaven uiterst simpele computer alle 1482 mogelijk
kaartconfiguraties te laten doorrekenen. Dat koste toen 1500 uur
computertijd. N.B. 2. Kepler heeft
het in De nive sexangula over de getallen die nu als de getallen van Fibonacci bekend staan.
Hij blijkt er van op de hoogte dat de de verhouding
tussen twee opvolgende getallen van Fibonacci steeds dichter nadert tot de
Gulden Snede. N.B. 3. De derde wet
van Kepler zegt dat het kwadraat van de omlooptijd van een planeet recht
evenredig is met de derde macht van zijn gemiddelde afstand tot de zon. De
eerste wet zegt dat de baan van een planeet een ellips is met de zon in een
brandpunt en de tweede wet is de “perkenwet”. Rob Reijerkerk BRONNEN. De Latijnse tekst van De
nive sexangula is te vinden op: http://www.fh-augsburg.de/~harsch/Chronologia/Lspost17/Kepler/kep_stre.html of op http://www.thelatinlibrary.com/kepler/strena.html Een fotografische
afbeelding van de uitgave uit 1611 is te vinden op: http://fotothek.slub-dresden.de/digisamm/buch000058.html
Ik beschikte over een
Duitse vertaling uit de serie “Ostwalds Klassiker der exakten
Wissenschaften”: Johannes Kepler Von
sechseckigen Schnee, vertaling, inleiding en noten van Dorothea Goetz,
Geest und Portig, Leipzig 1987 Er bestaat ook een
Engelse vertaling uit 1966 van de hand van Colin Hardie, maar die heb ik zo
gauw niet kunnen vinden. Over Kepler: Arthur Koestler The
Sleepwalkers Penguin Arkana, Penguin Books, Londen 1989 (oorspronkelijk
uit 1959). Dit boek gaat ook over Copernicus en Brahe en Galileï, maar vooral
over Kepler. Afbeeldingen van de
dodecaëders, die je in de ruimte kunt draaien, zijn te vinden op: http://mathworld.wolfram.com/HexagonalClosePacking.html
Op diezelfde prachtige
website staat ook iets over het vermoeden van Kepler: http://mathworld.wolfram.com/SpherePacking.html Voor het bewijs van
Hales: zie ook het artikel in de New York Times van 6 april 2004, te vinden
op: http://www.math.binghamton.edu/zaslav/Nytimes/+Science/+Math/sphere-packing.20040406.html
Een website over de
beginselen van de kristallografie: http://www.chem.ox.ac.uk/icl/heyes/structure_of_solids/Lecture1/Lec1.html En voor sneeuwvlokken
natuurlijk ook: http://www.its.caltech.edu/~atomic/snowcrystals/
De figuren 6, 7, 9 en
10 zijn bewerkingen van de originele afbeeldingen uit De nive sexangula.
Figuur 5 komt van de Engelstalige versie van de Wikipedia, maar is op vele
plaatsen op het net te vinden. © Rob Reijerkerk 2005 eerste versie af op 10 april 2005 kleine toevoegingen in verbeteringen op 25 april 2005 |
|
