• Introductie en Het Nut.
• Eigenschappen. De basiseigenschappen van logaritmen.
• Tabellen. Een voorbeeld van een traditionele logaritmentabel.
• Perryman. Hij publiceerde een methode om met behulp van enkele hele korte tabellen de logaritme toch in 10 cijfers nauwkeurig te berekenen.
• Lagrange interpolatie. De bekende lineaire interpolatie is eigenlijk een 2-punts Lagrange interpolatie. Besproken wordt tevens de 4-punts Lagrange interpolatie.
• Hoe berekenen computers de logaritme? Met een polynoombenadering of met een Taylor-reeks.

Logaritmen

Wat is het nut van logaritmen?
Ze zijn ongeveer net zo nuttig als optellen, aftrekken, delen, worteltrekken, dat soort dingen. Tegenwoordig pakken we voor alle berekeningen een rekenmachientje, maar vroeger greep de mens naar dikke tabellenboeken. Vooral tabellen met logaritmen waren erg gewild vanwege een bijzondere eigenschap. In plaats van moeizaam vermenigvuldigen en delen hoefde je slechts logaritmen op te tellen of af te trekken. Logaritmen zelf kon je praktisch niet uitrekenen, die moest je in een tabel opzoeken.
Eindeloze tabellen heeft men samengesteld om het rekenen met logaritmen te vergemakkelijken. Talrijke interpolatiemethoden heeft men bedacht om zo nauwkeurig mogelijke berekeningen te kunnen maken voor getallen die niet in de tabellen stonden.
Tegenwoordig zien we dat gedoe met die tabellen maar als een onbeholpen gesukkel.
In een flits berekent een simpel computerprogrammaatje de logaritme van 1.25341 in meer dan 250 decimalen:

log 1.25341 =
0.09809 31552 81372 40388 97449 73021 58347 76797 24988 94315
  64738 96189 15082 01515 31000 02885 16847 48070 64041 89697
  79133 64519 71088 95377 31681 18692 15313 08826 69282 99389
  73394 07261 12393 28921 21923 83837 65497 54848 65222 92003
  63279 49049 29240 07122 64290 04813 87676 44037 46327 28958 28621 ...

Er bestaan tegenwoordig tal van libraries voor programmeertalen zoals C++ (bijvoorbeeld Calc, NTL, ...) en tal van rekenpakketten (bijvoorbeeld Mathematica, Maple, ...) waarmee allerhande wiskundige berekeningen kunnen worden gedaan met hoge precisie. Zoek op het internet met de termen "arbitrary precision" en "computer algebra system", inclusief de aanhalingstekens.

Eigenschappen van logaritmen

log(a*b) = log a + log b

Hieruit kan gemakkelijk worden afgeleid:

log(a/b) = log a - log b
log(a^b) = b*log a

Dezelfde hoofdeigenschap kan ook anders worden uitgelegd - en zo had John Napier, de uitvinder van de logaritmen, hem gevonden:
De logaritme van het meetkundig gemiddelde van twee getallen komt overeen met het rekenkundig gemiddelde van de logaritmen. Dus:
log(√(a*b)) = (log a + log b)/2
(√ is het teken voor de vierkantswortel)

Kenmerkend voor een logaritme is dat hij een grondtal heeft.
Twee grondtallen komen veel voor: e (= 2.718281828459045235360287471...) en 10.
De logaritme met grondtal e wordt ook wel de natuurlijke logaritme genoemd en het symbool van de functie is ln. De logaritme met grondtal 10 wordt ook wel de tiende logaritme genoemd en hij heeft als symbool log. Een logaritme met een ander grondtal wordt aangeduid als log_ab waarbij a het grondtal is. Soms zien we: ^alog b.
Omrekening van een logaritme naar een ander grondtal:

log_ab = (ln b)/(ln a)

Dus log b = (ln b)/(ln 10).

De omgekeerde functies zijn machtfuncties. De omgekeerde functie van de 'tiende' logaritme is de antilogaritme, en de omgekeerde functie van de natuurlijke logaritme is de exponentiële functie.

a = log b .... b = 10^a
a = ln b .... b = e^a

De feitelijke getalswaarde van een logaritme is niet zo eenvoudig te berekenen.
Volgens afspraak is ln 1 = log 1 = log_a 1 = 0. De logaritme kan alleen maar van getallen groter dan 0 worden genomen. De logaritme van 0 is min oneindig (-∞, -INF) en de logaritme van oneindig is oneindig.
Voorts geldt per definitie dat de natuurlijke logaritme van een getal x gelijk is aan het oppervlak onder de functie f(x) = 1/x van 1 tot de waarde x, of in wiskundige termen:

ln x = ∫₁^x dt/t
(∫ is het integraalteken)

Tabellen

Als we geen rekenmachine of computer hadden, zouden we dus voldoende hebben aan een goede tabel met logaritmen tussen 1 en 2. In de praktijk werden vroeger tabellen gemaakt met de logaritmen tussen 1 en 10; dat scheelde de gebruiker weer het nodige rekenwerk.
John Napier beschreef al in 1614 de ontdekking van de (natuurlijke) logaritmen (Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio) en hij publiceerde de eerste tabellen met een nauwkeurigheid van 6 decimalen.
In 1624 publiceerde Henry Briggs tabellen met de (tiende) logaritmen van 1 - 20000 en van 90000 tot 100000 in 14 decimalen nauwkeurig. Daar lagen buitengewoon ingewikkelde berekeningen aan ten grondslag, die uitvoerig zijn beschreven in zijn werk Arithmetica logarithmica. Een Engelse vertaling van dat werk is gemaakt door Ian Bruce en te vinden op:
vertaling Briggs - Arithmetica logarithmica, onderdeel van:
The MacTutor History of Mathematics archive, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews Scotland.

Het is ondoenlijk het ingewikkelde proces van Briggs hier te beschrijven, maar aan de hand van de basiseigenschappen van logaritmen valt te begrijpen wat het achterliggende principe is.
De log van 10 is 1. De vierkantswortel van een getal is hetzelfde als dat getal tot de macht een half. Dus log(√10) = log(10^0.5) = 0.5. Op vergelijkbare wijze: log(√√10) = log(10^0.25) = 0.25. Op die manier verkrijgen we de logaritmen van een hele reeks getallen. Door tussen die getallen en hun logaritmen te interpoleren, krijgen we de logaritmen van 'handige' waarden.

Aangezien we tegenwoordig geen tabellen meer nodig hebben, dreigt de kunst van het werken met de 'logarithmentafel' (oude spelling, met th) verloren te gaan. Wellicht is het interessant te bekijken hoe zo'n ding werkt.
Een voorbeeld van de eerste pagina van een serie logaritmentabellen staat hieronder.

Logaritmen 1000 - 1500
No.	0	d	1	d	2	d	3	d	4	d	5	d	6	d	7	d	8	d	9	d
100	00000	43	00043	44	00087	43	00130	43	00173	44	00217	43	00260	43	00303	43	00346	43	00389	43
101	00432	43	00475	43	00518	43	00561	43	00604	43	00647	42	00689	43	00732	43	00775	42	00817	43
102	00860	43	00903	42	00945	43	00988	42	01030	42	01072	43	01115	42	01157	42	01199	43	01242	42
103	01284	42	01326	42	01368	42	01410	42	01452	42	01494	42	01536	42	01578	42	01620	42	01662	41
104	01703	42	01745	42	01787	41	01828	42	01870	42	01912	41	01953	42	01995	41	02036	42	02078	41
105	02119	41	02160	42	02202	41	02243	41	02284	41	02325	41	02366	41	02407	42	02449	41	02490	41
106	02531	41	02572	40	02612	41	02653	41	02694	41	02735	41	02776	40	02816	41	02857	41	02898	40
107	02938	41	02979	40	03019	41	03060	40	03100	41	03141	40	03181	41	03222	40	03262	40	03302	40
108	03342	41	03383	40	03423	40	03463	40	03503	40	03543	40	03583	40	03623	40	03663	40	03703	40
109	03743	39	03782	40	03822	40	03862	40	03902	39	03941	40	03981	40	04021	39	04060	40	04100	39
110	04139	40	04179	39	04218	40	04258	39	04297	39	04336	40	04376	39	04415	39	04454	39	04493	39
111	04532	39	04571	39	04610	40	04650	39	04689	38	04727	39	04766	39	04805	39	04844	39	04883	39
112	04922	39	04961	38	04999	39	05038	39	05077	38	05115	39	05154	38	05192	39	05231	38	05269	39
113	05308	38	05346	39	05385	38	05423	38	05461	39	05500	38	05538	38	05576	38	05614	38	05652	38
114	05690	39	05729	38	05767	38	05805	38	05843	38	05881	37	05918	38	05956	38	05994	38	06032	38
115	06070	38	06108	37	06145	38	06183	38	06221	37	06258	38	06296	37	06333	38	06371	37	06408	38
116	06446	37	06483	38	06521	37	06558	37	06595	38	06633	37	06670	37	06707	37	06744	37	06781	38
117	06819	37	06856	37	06893	37	06930	37	06967	37	07004	37	07041	37	07078	37	07115	36	07151	37
118	07188	37	07225	37	07262	36	07298	37	07335	37	07372	36	07408	37	07445	37	07482	36	07518	37
119	07555	36	07591	37	07628	36	07664	36	07700	37	07737	36	07773	36	07809	37	07846	36	07882	36
120	07918	36	07954	36	07990	37	08027	36	08063	36	08099	36	08135	36	08171	36	08207	36	08243	36
121	08279	35	08314	36	08350	36	08386	36	08422	36	08458	35	08493	36	08529	36	08565	35	08600	36
122	08636	36	08672	35	08707	36	08743	35	08778	36	08814	35	08849	35	08884	36	08920	35	08955	36
123	08991	35	09026	35	09061	35	09096	36	09132	35	09167	35	09202	35	09237	35	09272	35	09307	35
124	09342	35	09377	35	09412	35	09447	35	09482	35	09517	35	09552	35	09587	34	09621	35	09656	35
125	09691	35	09726	34	09760	35	09795	35	09830	34	09864	35	09899	35	09934	34	09968	35	10003	34
126	10037	35	10072	34	10106	34	10140	35	10175	34	10209	34	10243	35	10278	34	10312	34	10346	34
127	10380	35	10415	34	10449	34	10483	34	10517	34	10551	34	10585	34	10619	34	10653	34	10687	34
128	10721	34	10755	34	10789	34	10823	34	10857	33	10890	34	10924	34	10958	34	10992	33	11025	34
129	11059	34	11093	33	11126	34	11160	33	11193	34	11227	34	11261	33	11294	33	11327	34	11361	33
130	11394	34	11428	33	11461	33	11494	34	11528	33	11561	33	11594	34	11628	33	11661	33	11694	33
131	11727	33	11760	33	11793	33	11826	34	11860	33	11893	33	11926	33	11959	33	11992	32	12024	33
132	12057	33	12090	33	12123	33	12156	33	12189	33	12222	32	12254	33	12287	33	12320	32	12352	33
133	12385	33	12418	32	12450	33	12483	33	12516	32	12548	33	12581	32	12613	33	12646	32	12678	32
134	12710	33	12743	32	12775	33	12808	32	12840	32	12872	33	12905	32	12937	32	12969	32	13001	32
135	13033	33	13066	32	13098	32	13130	32	13162	32	13194	32	13226	32	13258	32	13290	32	13322	32
136	13354	32	13386	32	13418	32	13450	31	13481	32	13513	32	13545	32	13577	32	13609	31	13640	32
137	13672	32	13704	31	13735	32	13767	32	13799	31	13830	32	13862	31	13893	32	13925	31	13956	32
138	13988	31	14019	32	14051	31	14082	32	14114	31	14145	31	14176	32	14208	31	14239	31	14270	31
139	14301	32	14333	31	14364	31	14395	31	14426	31	14457	32	14489	31	14520	31	14551	31	14582	31
140	14613	31	14644	31	14675	31	14706	31	14737	31	14768	31	14799	30	14829	31	14860	31	14891	31
141	14922	31	14953	30	14983	31	15014	31	15045	31	15076	30	15106	31	15137	31	15168	30	15198	31
142	15229	30	15259	31	15290	30	15320	31	15351	30	15381	31	15412	30	15442	31	15473	30	15503	31
143	15534	30	15564	30	15594	31	15625	30	15655	30	15685	30	15715	31	15746	30	15776	30	15806	30
144	15836	30	15866	31	15897	30	15927	30	15957	30	15987	30	16017	30	16047	30	16077	30	16107	30
145	16137	30	16167	30	16197	30	16227	29	16256	30	16286	30	16316	30	16346	30	16376	30	16406	29
146	16435	30	16465	30	16495	29	16524	30	16554	30	16584	29	16613	30	16643	30	16673	29	16702	30
147	16732	29	16761	30	16791	29	16820	30	16850	29	16879	30	16909	29	16938	29	16967	30	16997	29
148	17026	30	17056	29	17085	29	17114	29	17143	30	17173	29	17202	29	17231	29	17260	29	17289	30
149	17319	29	17348	29	17377	29	17406	29	17435	29	17464	29	17493	29	17522	29	17551	29	17580	29
150	17609	29	17638	29	17667	29	17696	29	17725	29	17754	28	17782	29	17811	29	17840	29	17869	29
No.	0	d	1	d	2	d	3	d	4	d	5	d	6	d	7	d	8	d	9	d

Proportionele delen
n\d	44	43	42	41	40	39	38	37	36	35	34	33	32	31	30	29	28
1	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	3	3	3	3	3	3	3
2	9	9	8	8	8	8	8	7	7	7	7	7	6	6	6	6	6
3	13	13	13	12	12	12	11	11	11	11	10	10	10	9	9	9	8
4	18	17	17	16	16	16	15	15	14	14	14	13	13	12	12	12	11
5	22	22	21	21	20	20	19	19	18	18	17	17	16	16	15	15	14
6	26	26	25	25	24	23	23	22	22	21	20	20	19	19	18	17	17
7	31	30	29	29	28	27	27	26	25	25	24	23	22	22	21	20	20
8	35	34	34	33	32	31	30	30	29	28	27	26	26	25	24	23	22
9	40	39	38	37	36	35	34	33	32	32	31	30	29	28	27	26	25

Dit is een tabel met 5 plaatsen ofwel 5 significante cijfers voor de tiende logaritme log₁₀x.
In de blauwe 'No.' kolom van bovenstaande grote tabel zoeken we het eerste stuk van de x op waar we de logaritme van willen hebben. In de witte kolommen daarnaast kunnen we een extra decimaal van x krijgen.
Soms worden enkele voor de hand liggende gegevens weggelaten om ruimte te sparen:

No.	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
100	00 000	043	087	130	173	217	260	303	346	389
101	432	475	518	561	604	647	689	732	775	817
102	860	903	945	988	*030	*072	*115	*157	*199	*242
103	01 284	326	368	410	452	494	536	578	620	662

Van een tabel met 5 plaatsen kunnen de eerste twee cijfers enige tijd worden weggelaten, omdat ze toch hetzelfde blijven. Wanneer ze veranderen, wordt die verandering aangeduid met een sterretje, met een kleurverschil of met een hulplijntje. Het verschil tussen opeenvolgende tabelwaarden wordt ook niet altijd weergegeven omdat de gebruiker dat zelf wel kan berekenen.
Het is gebruikelijk dat de tabel geen aandacht besteedt aan de decade waarin het op te zoeken getal zit. De juiste waarde kan gemakkelijk worden gevonden door optellen of aftrekken van gehele getallen. Ga maar na: log 666 = log(6.66*100) = log 6.66 + log 100 = log 6.66 + 2.

Een voorbeeld van het werken met de tabel.
De log van '125' is '09691'. Door even na te denken krijgen we de waarde die we willen hebben:
log 1.25 = 0.09691
log 12.5 = 1.09691, want log 10 = 1
log 125 = 2.09691, want log 100 = 2
log 1250 = 3.09691, want log 1000 = 3
log 0.125 = 0.09691 - 1 = -0.90309, want log 0.1 = -1
log 0.0125 = 0.09691 - 2 = -1.90309, want log 0.01 = -2, enzovoorts.
Iedere 10 keer meer is 1 erbij in de uitkomst en iedere 10 keer minder is 1 eraf in de uitkomst, overeenkomstig de basiseigenschappen van de logaritme.
De log van 1.250 is dus 0.09691. Een paar kolommen verder lezen we af wat de log is van 1.253: 0.09795.
En wat zijn die grijze kolommen gemerkt d (difference, verschil)?. Dat zijn hulpwaarden voor de tabel met proportionele delen en daarmee kunnen we een extra decimaal krijgen. In het grijze vakje achter de waarde 09795 staat te lezen: 35. Dat is precies het verschil met de volgende tabelwaarde. Ga maar na: 09795 + 35 = 09830. Anders gezegd: log 1.254 - log 1.253 = 0.09830 - 0.09795 = 0.00035.
Stel we willen de logaritme weten van 1.2534. We weten al wat de logaritme is van 1.253, namelijk 0.09795. Het verschil 'd' met de volgende waarde is '35' en en willen als extra decimaal 4 hebben. Kijk nu in de tabel met proportionele delen in de rij gemerkt '4' en de kolom gemerkt '35'. Daar staat de waarde '14'. Tel dit op bij de eerder gevonden logwaarde: 09795 + 14 = 09809. Vertaling: log 1.2534 = 0.09809.

Een hoop gedoe allemaal. Ons elektronisch rekenmachientje van minder dan 10 Euro meldt ons met aanzienlijk minder inspanning en met grotere nauwkeurigheid dat log 1.2534 = 0.09808969.
Er is geen enkele hoop dat we met enige nauwkeurigheid de log van 1.25341 uit bovenstaande tabel kunnen halen.

De tabellen van Perryman

Perryman maakt gebruik van een interessante interpolatiemethode voor de antilogaritme:

10^M+Rt = 10^M + t'D

M is een waarde die in de antilogtabel staat
R is de resolutie van de tabel, bijvoorbeeld 0.0001
t ligt tussen 0 en 1
D is het verschil tussen 2 opeenvolgende tabelwaarden = 10^M+R - 10^M
Er kan worden afgeleid dat t' = (10^Rt - 1)/(10^R - 1)

Die afleiding van t' is niet zo moeilijk:
Splits de machten in de uitgangsformule uit:
10^M.10^Rt = 10^M + t'.10^M.10^R - t'.10^M
Delen door 10^M:
10^Rt = 1 + t'.10^R - t'  ->  t' = (10^Rt - 1)/(10^R - 1)

Als we nu een tabel maken van t' als functie van t (loopt van 0 tot 1), dan kunnen we de antilogaritme goed interpoleren.
En hoe moet dat nu met de logaritme?

De zojuist beschreven interpolatiemethode voor de antilogaritme is exact; er is dus geen restterm. Met wat omwerken kunnen we deze methode goed gebruiken voor logaritmen.
Werk de interpolatieformule eerst als volgt om:

(10^M+Rt - 10^M)/D = t'

Stel, we willen van een getal p de log p weten. Zoek nu eerst in een tabel met logaritmen een p_t-waarde op die gelijk is aan of net iets kleiner is dan p. Bereken de verhouding p/p_t en stel die gelijk aan de factor 10^M+Rt uit de zojuist omgewerkte formule. Waarom dat handig is, zal aanstonds blijken.

10^M+Rt = p/p_t

Neem de logaritme links en rechts van het = teken:

M + Rt = log p - log p_t
ofwel
log p = M + Rt + log p_t

M is bekend want dat is een antilog-tabelwaarde, R is de resolutie van de antilogtabel, p_t is bekend want dat is een log-tabelwaarde en log p_t staat dus ook in de tabel.
Ehm ja, welke waarde had M ook al weer, en hoe groot is t?

We keren terug naar de formule (10^M+Rt - 10^M)/D = t'.
Eigenlijk is het stuk links van het = teken de formule voor een lineaire interpolatie van p/p_t in de antilogaritmentabel. We zoeken dus in de tabel naar de waarden M waarvan de antilog net rond de p/p_t ligt:

(p/p_t - 10^onder) / (10^boven - 10^onder)

Zoals de uitgangsformule al aangaf is de uitkomst van die breuk gelijk aan t'. We zien meteen dat M gelijk is aan de genoemde waarde 'onder' in de antilogtabel.
Alle gegevens, nodig voor het berekenen van die breuk zijn nu bekend, dus is t' bekend.
Maar, we hebben t nodig.

We hadden al een formule voor t' afgeleid: t' = (10^Rt - 1)/(10^R - 1). Daaruit kan met wat omwerken een functie t = f(t') worden afgeleid.
In principe hoeven dus alleen nog maar een tabel te hebben van t als functie van t'. Als we echter log p met 10 decimalen nauwkeurig willen hebben, dan blijkt dat we vrij veel waarden van t' moeten tabelleren. Het is handiger een tabel te maken waarin t' slechts met een waarde u gecorrigeerd hoeft te worden om t te krijgen:

t = t' + u

Laten we t'+u eens voor t invullen in de formule voor t':

t' = (10^R(t'+u) - 1)/(10^R - 1)

Met enige elementaire rekenkundige handelingen kunnen we u expliciet brengen:

u = (1/R)*log(t'(10^R-1)+1) - t'

We zouden een tabel kunnen maken met u als functie van t'. Het blijkt echter dat de waarde van u niet zo veel verandert. Met andere woorden: het zou handiger zijn om voor de discrete waarden waarbij u van waarde verandert, de t' op te geven.
De klap op de vuurpijl en waar het allemaal om is begonnen is namelijk dat we maar zeer weinig waarden van u nodig hebben.
Dat heeft te maken met de gekozen resoluties.

Enige regels terug hebben we gezien dat de log p die we zoeken gelijk is aan: log p = M + R*t + log p_t. De waarde M is een M-waarde in de antilog(M) tabel en die heeft dus een aantal decimalen, bepaald door resolutie R. De log p_t is een getal van 10 decimalen, te vinden in de tabel. De waarde R*t moet dus ook 10 decimalen hebben. Als de resolutie R bijvoorbeeld gelijk is aan 0.0001, dus 4 decimalen, dan hoeft t slechts bekend te zijn in 10-4 = 6 decimalen!
Dat houdt in dat ook t' en u in slechts 6 decimalen bekend hoeven te zijn.
Even kijken wat de maximum waarde is voor u. Dat betekent dat we de functie u = f(t') moeten differentiëren naar t' en het nulpunt van de afgeleide moeten bepalen.

du/dt' = (1/(R*ln 10)) * [ (10^R-1)/(t'*(10^R-1)+1) ] - 1

du/dt' = 0  -->  t' = ((W1/W2)-1)/W1
met W1 = 10^R-1 en W2 = R*ln 10
Bedenk dat log x = ln(x)/ln(10) en d(ln x) = (1/x)*dx

Bij een antilogresolutie R van 0.0001 blijkt het maximum voor t' op te treden bij t' bijna 0.5, waarbij u = 28.78 * 10^-6.
Aangezien u slechts in 6 decimalen, dus tot op 10^-6, bekend hoeft te zijn, kunnen we volstaan met een kleine tabel met u = 0, 1, 2, 3, ..., 28, 29, 28, 27, ..., 2, 1, 0 maal 10^-6 en de bijbehorende t' waarden, rekening houdend met de gebruikelijke afronding - dus alle u's die bijvoorbeeld tussen 6.5 en 7.5 liggen, worden afgerond tot u = 7.
Nu is het zo dat in de functie u = f(t'), de t' niet expliciet kan worden gebracht. Het is dus niet mogelijk een simpele functie t' = f(u) te vinden. Perryman heeft een benadering toegepast, waarmee hij ongetwijfeld op moeizame wijze toch een tabel t' versus u heeft weten te maken. Wij hebben een wat nauwkeurigere tabel t' versus u berekend met de computer door t' iteratief te berekenen op basis van de functie u = f(t').

Hiermee is de hele wiskundige achtergrond van de Perryman-rekenmethode besproken. De rest wordt wel duidelijk met een rekenvoorbeeld.

Rekenvoorbeeld Perryman

Bepaal de log van p = 1.25341 in 10 decimalen nauwkeurig.
In de logaritmentabel is in ieder geval een log 1.24 te vinden = 0.0934216852 = log p_t.
Bereken nu de verhouding p/p_t = 1.25341/1.24. Dat is 1.0108145161.
Welke antilog komt daar het dichtste bij?
1.0108145161 ligt tussen antilog(0.0046) en antilog(0.0047). Het verschil tussen die twee staat ook in de tabel: D = 0.0002327371.
Bereken nu p/p_t - antilog(0.0046): 1.0108145161-1.0106481841 = 0.0001663320.
Deel dat door het verschil in de antilog-tabelwaarden D: 0.0001663320/0.0002327371 = 0.7146776341.
Dit is de t' waarde (eigenlijk zijn maar 6 decimalen nodig). Maak er een t waarde van door er u bij op te tellen uit de t' versus u tabel. We vinden voor u een waarde van 23*10^-6.
Dus t = 0.7146776341 + 0.000023 = 0.7147006341 (eigenlijk maar 6 decimalen nodig: 0.714701).
Volgens Perryman geldt: log p = M + R*t + log p_t.
M is de gevonden antilog M-waarde 0.0046, R is de resolutie van de antilogtabel 0.0001. Ingevuld:
log p = log 1.25341 = 0.0046 + 0.0001*0.714701 + 0.0934216852 = 0.0980931553.
Vergelijk dit met de exactere waarde: 0.09809315528137...

Hoe veel handelingen hebben we uit moeten voeren?
Iets in tabel opzoeken: 3x
Optellen/aftrekken: 4x
Vermenigvuldigen: 1x
Delen: 2x

Hoe groot zijn de benodigde tabellen?
Logaritme: 136 ingangen
Antilogaritme: 101 ingangen
t' versus u: 59 ingangen

Tiende logaritme van x

Deze tabel hoort bij de rekenmethode van Perryman.
De resolutie van de antilogtabel is 0.0001 en die tabel loopt van M=0 tot 0.01. Dat betekent dat in onderstaande log(x) tabel de verhouding tussen opeenvolgende x-waarden kleiner moet zijn dan 10^0.01 = 1.023293.

x	log(x)		x	log(x)		x	log(x)
1.00	0.0000000000		2.16	0.3344537512		4.96	0.6954816765
1.02	0.0086001718		2.19	0.3404441148		5.04	0.7024305364
1.04	0.0170333393		2.22	0.3463529745		5.12	0.7092699610
1.06	0.0253058653		2.25	0.3521825181		5.20	0.7160033436
1.08	0.0334237555		2.30	0.3617278360		5.28	0.7226339225
1.10	0.0413926852		2.35	0.3710678623		5.36	0.7291647897
1.12	0.0492180227		2.40	0.3802112417		5.44	0.7355988997
1.14	0.0569048513		2.45	0.3891660844		5.52	0.7419390777
1.16	0.0644579892		2.50	0.3979400087		5.60	0.7481880270
1.18	0.0718820073		2.55	0.4065401804		5.68	0.7543483357
1.20	0.0791812460		2.60	0.4149733480		5.76	0.7604224834
1.22	0.0863598307		2.65	0.4232458739		5.84	0.7664128471
1.24	0.0934216852		2.70	0.4313637642		5.88	0.7693773261
1.26	0.1003705451		2.75	0.4393326938		6.00	0.7781512504
1.28	0.1072099696		2.80	0.4471580313		6.12	0.7867514221
1.30	0.1139433523		2.85	0.4548448600		6.24	0.7951845897
1.32	0.1205739312		2.90	0.4623979979		6.36	0.8034571156
1.34	0.1271047984		2.95	0.4698220160		6.48	0.8115750059
1.36	0.1335389084		3.00	0.4771212547		6.60	0.8195439355
1.38	0.1398790864		3.05	0.4842998393		6.72	0.8273692731
1.40	0.1461280357		3.10	0.4913616938		6.84	0.8350561017
1.42	0.1522883444		3.15	0.4983105538		6.96	0.8426092396
1.44	0.1583624921		3.20	0.5051499783		7.08	0.8500332577
1.47	0.1673173347		3.25	0.5118833610		7.20	0.8573324964
1.50	0.1760912591		3.30	0.5185139399		7.32	0.8645110811
1.53	0.1846914308		3.35	0.5250448070		7.44	0.8715729355
1.56	0.1931245984		3.40	0.5314789170		7.56	0.8785217955
1.59	0.2013971243		3.45	0.5378190951		7.68	0.8853612200
1.62	0.2095150145		3.50	0.5440680444		7.80	0.8920946027
1.65	0.2174839442		3.55	0.5502283531		7.92	0.8987251816
1.68	0.2253092817		3.68	0.5658478187		8.04	0.9052560487
1.71	0.2329961104		3.76	0.5751878449		8.16	0.9116901588
1.74	0.2405492483		3.84	0.5843312244		8.28	0.9180303368
1.77	0.2479732664		3.92	0.5932860670		8.40	0.9242792861
1.80	0.2552725051		4.00	0.6020599913		8.52	0.9304395948
1.83	0.2624510897		4.08	0.6106601631		8.64	0.9365137425
1.86	0.2695129442		4.16	0.6190933306		8.76	0.9425041062
1.89	0.2764618042		4.24	0.6273658566		8.88	0.9484129658
1.92	0.2833012287		4.32	0.6354837468		9.00	0.9542425094
1.95	0.2900346114		4.40	0.6434526765		9.20	0.9637878273
1.98	0.2966651903		4.48	0.6512780140		9.40	0.9731278536
2.01	0.3031960574		4.56	0.6589648427		9.60	0.9822712330
2.04	0.3096301674		4.64	0.6665179806		9.80	0.9912260757
2.07	0.3159703455		4.72	0.6739419986		10.00	1.0000000000
2.10	0.3222192947		4.80	0.6812412374
2.13	0.3283796034		4.88	0.6884198220

Antilog(M) = 10^M

Deze tabel hoort bij de rekenmethode van Perryman.
In de logaritmentabel hierboven is de maximum waarde van de verhouding tussen twee opeenvolgende x-waarden 1.022222. De antilogtabel hieronder hoeft daardoor slechts te lopen van 0 tot log 1.022222 = 0.009545, zeg maar tot 0.01.

De kolom "verschil" geeft het verschil met de volgende tabelwaarde.

M	antilog(M)	verschil		M	antilog(M)	verschil
0.0000	1.0000000000	0.0002302850		0.0051	1.0118124059	0.0002330052
0.0001	1.0002302850	0.0002303381		0.0052	1.0120454111	0.0002330589
0.0002	1.0004606231	0.0002303911		0.0053	1.0122784700	0.0002331126
0.0003	1.0006910142	0.0002304442		0.0054	1.0125115826	0.0002331663
0.0004	1.0009214583	0.0002304972		0.0055	1.0127447488	0.0002332199
0.0005	1.0011519555	0.0002305503		0.0056	1.0129779688	0.0002332737
0.0006	1.0013825058	0.0002306034		0.0057	1.0132112424	0.0002333274
0.0007	1.0016131092	0.0002306565		0.0058	1.0134445698	0.0002333811
0.0008	1.0018437657	0.0002307096		0.0059	1.0136779509	0.0002334348
0.0009	1.0020744753	0.0002307627		0.0060	1.0139113857	0.0002334886
0.0010	1.0023052381	0.0002308159		0.0061	1.0141448743	0.0002335424
0.0011	1.0025360540	0.0002308690		0.0062	1.0143784167	0.0002335962
0.0012	1.0027669230	0.0002309222		0.0063	1.0146120129	0.0002336499
0.0013	1.0029978452	0.0002309754		0.0064	1.0148456628	0.0002337038
0.0014	1.0032288206	0.0002310286		0.0065	1.0150793666	0.0002337576
0.0015	1.0034598491	0.0002310818		0.0066	1.0153131241	0.0002338114
0.0016	1.0036909309	0.0002311350		0.0067	1.0155469355	0.0002338652
0.0017	1.0039220659	0.0002311882		0.0068	1.0157808008	0.0002339191
0.0018	1.0041532541	0.0002312415		0.0069	1.0160147199	0.0002339730
0.0019	1.0043844956	0.0002312947		0.0070	1.0162486929	0.0002340269
0.0020	1.0046157903	0.0002313480		0.0071	1.0164827197	0.0002340807
0.0021	1.0048471382	0.0002314012		0.0072	1.0167168005	0.0002341346
0.0022	1.0050785395	0.0002314545		0.0073	1.0169509351	0.0002341886
0.0023	1.0053099940	0.0002315078		0.0074	1.0171851237	0.0002342425
0.0024	1.0055415019	0.0002315611		0.0075	1.0174193662	0.0002342964
0.0025	1.0057730630	0.0002316145		0.0076	1.0176536626	0.0002343504
0.0026	1.0060046775	0.0002316678		0.0077	1.0178880130	0.0002344044
0.0027	1.0062363453	0.0002317212		0.0078	1.0181224174	0.0002344583
0.0028	1.0064680664	0.0002317745		0.0079	1.0183568757	0.0002345123
0.0029	1.0066998410	0.0002318279		0.0080	1.0185913881	0.0002345663
0.0030	1.0069316689	0.0002318813		0.0081	1.0188259544	0.0002346204
0.0031	1.0071635501	0.0002319347		0.0082	1.0190605747	0.0002346744
0.0032	1.0073954848	0.0002319881		0.0083	1.0192952491	0.0002347284
0.0033	1.0076274729	0.0002320415		0.0084	1.0195299776	0.0002347825
0.0034	1.0078595144	0.0002320949		0.0085	1.0197647600	0.0002348365
0.0035	1.0080916094	0.0002321484		0.0086	1.0199995966	0.0002348906
0.0036	1.0083237578	0.0002322019		0.0087	1.0202344872	0.0002349447
0.0037	1.0085559596	0.0002322553		0.0088	1.0204694319	0.0002349988
0.0038	1.0087882149	0.0002323088		0.0089	1.0207044308	0.0002350529
0.0039	1.0090205238	0.0002323623		0.0090	1.0209394837	0.0002351071
0.0040	1.0092528861	0.0002324158		0.0091	1.0211745908	0.0002351612
0.0041	1.0094853019	0.0002324693		0.0092	1.0214097520	0.0002352154
0.0042	1.0097177712	0.0002325229		0.0093	1.0216449674	0.0002352695
0.0043	1.0099502941	0.0002325764		0.0094	1.0218802369	0.0002353237
0.0044	1.0101828705	0.0002326300		0.0095	1.0221155606	0.0002353779
0.0045	1.0104155005	0.0002326836		0.0096	1.0223509385	0.0002354321
0.0046	1.0106481841	0.0002327371		0.0097	1.0225863706	0.0002354863
0.0047	1.0108809212	0.0002327907		0.0098	1.0228218569	0.0002355406
0.0048	1.0111137120	0.0002328443		0.0099	1.0230573975	0.0002355948
0.0049	1.0113465563	0.0002328980		0.0100	1.0232929923	0.0002356490
0.0050	1.0115794543	0.0002329516

Correctiefactor u als functie van t'

Deze tabel hoort bij de rekenmethode van Perryman.
De tabel is op maat gesneden voor de resolutie van de antilogaritmentabel van 0.0001 en de logaritmentabel van 10 decimalen.
De formule waar de tabel op gebaseerd is staat te lezen in de wiskundige uitleg van de Perryman-methode.

Voorbeeld van het gebruik: als t' ligt tussen 0.050299 en 0.060062, neem dan voor u de correctiefactor 6*10^-6.

Onderstaande tabel is nauwkeuriger dan die van Perryman, want opnieuw berekend met de computer

t'	u		t'	u		t'	u		t'	u
0.000000			0.147776			0.549500			0.864327
	0			15			28			13
0.004362			0.160330			0.605518			0.876059
	1			16			27			12
0.013202			0.173366			0.640779			0.887436
	2			17			26			11
0.022206			0.186944			0.668831			0.898488
	3			18			25			10
0.031383			0.201138			0.692845			0.909242
	4			19			24			9
0.040744			0.216041			0.714184			0.919720
	5			20			23			8
0.050299			0.231771			0.733582			0.929944
	6			21			22			7
0.060062			0.248483			0.751488			0.939929
	7			22			21			6
0.070046			0.266388			0.768201			0.949694
	8			23			20			5
0.080268			0.285784			0.783933			0.959250
	9			24			19			4
0.090745			0.307122			0.798837			0.968612
	10			25			18			3
0.101498			0.331134			0.813033			0.977790
	11			26			17			2
0.112549			0.359185			0.826612			0.986796
	12			27			16			1
0.123925			0.394444			0.839649			0.995638
	13			28			15			0
0.135655			0.450462			0.852204			1.000000
	14			29			14
0.147776			0.549500			0.864327

Lagrange interpolatie

y = y₀ + (x-x₀).(y₁-y₀)/(x₁-x₀)

Deze methode gaat er vanuit dat de functie y = f(x) lineair verandert tussen x₀ en x₁. Dat is meestal niet het geval, waardoor een fout wordt gemaakt.
Eigenlijk is de lineaire interpolatie een 2-punts Lagrange interpolatie. In goede wiskundeboeken staat de afleiding van deze methode. Tevens staat in de boeken te lezen dat er sprake is van een restterm. Dat is een poging om de fout te schatten.

Voor een 2-punts Lagrange interpolatie luiden de formules:

f(x) = f(x₀+p.h) = (1-p).f₀ + p.f₁ + R₁
R₁ = (1/2).p.(p-1).h².f⁽²⁾(ξ) ≈ (1/2).p.(p-1).Δ₀²

waarbij:
f(x) is de functiewaarde die we willen weten
x₀ is een tabelwaarde die gelijk is aan of net iets kleiner is dan x
h is de (gelijkmatige) afstand tussen de x-waarden = x₁-x₀ = x₂-x₁, enzovoorts
p is de fractie van h die we nodig hebben om uitgaande van x₀ de gevraagde x te bereiken: p =(x-x₀)/h
f₀ is de functiewaarde f(x₀) = y₀
f₁ is de functiewaarde f(x₁) = y₁
R₁ is de Lagrange restterm
f⁽²⁾(ξ) is de tweede afgeleide van de functie in een niet nader te bepalen tussenpunt ξ
Δ₀² is de waarde van de tweede verschilrij, horend bij punt x₀

Als we een tabel met getallen hebben, kunnen we een verschilrij bepalen. Dat is de reeks getallen die ontstaat door telkens het verschil van twee opeenvolgende y-waarden te nemen. De tweede verschilrij is de reeks verschillen tussen twee opeenvolgende waarden van de eerste verschilrij, enzovoorts. Onderstaande tabel laat de eerste vier verschilrijen zien van een tabel met log-waarden. Merk op dat volgens afspraak het symbool voor de voorwaartse verschilrij de Griekse letter Delta is (Δ) en dat de tabelwaarde -0.0000000095 in de vierde verschilrij hoort bij x₀. De waarde -0.0000273562 is Δ₀², de waarde uit de tweede verschilrij, horend bij x₀.

	x	fn = log(x)	Δ1	Δ2	Δ3	Δ4
x-1	1.24	0.0934216852
			0.0034883278
x0	1.25	0.0969100130		-0.0000277957
			0.0034605321		0.0000004395
x1	1.26	0.1003705451		-0.0000273562		-0.0000000106
			0.0034331759		0.0000004289
x2	1.27	0.1038037210		-0.0000269273		-0.0000000095
			0.0034062486		0.0000004194
x3	1.28	0.1072099696		-0.0000265079
			0.0033797407
x4	1.29	0.1105897103

Met wat rekenwerk kan worden bepaald dat Δ₀² = f₂-2.f₁+f₀ en Δ₀⁴ = f₄-4.f₃+6.f₂-4.f₁+f₀.

Gewapend met bovenstaande kennis kunnen we de log van 1.25341 berekenen.
We zien dat 1.25 en 1.26 in de tabel staan, dus stellen we x₀ = 1.25 en x₁ = 1.26. Uit de tabel halen we f₀ = 0.0969100130 en f₁ = 0.1003705451. Het is duidelijk dat h = 0.01 en p = (1.25341-1.25)/0.01 = 0.341.
Invullen:

f(x) = log 1.25341 = (1-0.341)*0.0969100130 + 0.341*0.1003705451 = 0.0980900544.
Verschil met de exacte waarde: 31009*10^-10.

Nu de restterm bepalen uit de waarde van de tweede verschilrij:

R₁ = 0.5*0.341*(0.341-1)*-0.0000273562 = 0.0000030737
Optellen bij de eerder verkregen f(x):

log 1.25341 = 0.0980900544 + 0.0000030737 = 0.0980931281
Verschil met de exacte waarde: 272*10^-10.

Dat is al een verbetering, maar nog lang geen 10 decimalen nauwkeurigheid.
De restterm kunnen we ook op een andere manier bepalen, als we de tweede afgeleide kennen van de functie. Toevallig is die in dit geval bekend. We geven in voorbereiding op het vervolg alvast een lijstje tot en met de vierde afgeleide:

f(x) = log(x) = ln(x)/ln(10)
f⁽¹⁾(x) = (1/ln 10)*(1/x)
f⁽²⁾(x) = -(1/ln 10)*(1/x²)
f⁽³⁾(x) = (2/ln 10)*(1/x³)
f⁽⁴⁾(x) = -(6/ln 10)*(1/x⁴)

De restterm op basis van de tweede afgeleide in een tussenpunt, laten we zeggen 1.25341:

R₁ = 0.5*0.341*(0.341-1) * 0.01² * -(1/ln 10)*(1/1.25341²) = 0.0000031060

Optellen bij de eerder verkregen f(x):

log 1.25341 = 0.0980900544 + 0.0000031060 = 0.0980931604
Verschil met de exacte waarde: -51*10^-10.

Dat ziet er nog beter uit.
De les die we hieruit kunnen leren is dat we met een lineaire interpolatie op deze wijze geen 10 decimalen nauwkeurigheid kunnen bereiken. Het toevoegen van de restterm wil een beetje helpen. Als we de functie kennen waar de tabel op is gebaseerd en daar de tweede afgeleide van kunnen bepalen, dan kunnen we soms een betere waarde van de restterm berekenen.

Zou een 4-punts Lagrange interpolatie wel een nauwkeurigheid van 10 decimalen kunnen geven?

De formule voor de 4-punts Lagrange interpolatie ziet er wat ingewikkelder uit:

f(x) = f(x₀+p.h) = (-1/6).p.(p-1).(p-2).f_-1 + (1/2).(p²-1).(p-2).f₀ - (1/2).p.(p+1).(p-2).f₁ + (1/6).(p²-1).p.f₂ + R₃
R₃ = (1/24).(p²-1).p.(p-2).h⁴f⁽⁴⁾(ξ) ≈ (1/24).(p²-1).p.(p-2).Δ₀⁴

Zo tegen het begin van de tabel is gewoon de eerste de beste tabelingang gelijk aan f_-1. Als x ligt tussen x_-1 en x₀ dan is p kleiner dan 0 en daardoor wordt de restfout groter. Zelfde verhaal voor het tabeleinde: reken de laatste ingang als f₂. Tegen het tabeleinde wordt p dan een waarde tussen 1 en 2, en ook daardoor wordt de restfout groter.

Als we onze uitgangsgegevens allemaal netjes invullen krijgen we als uitkomsten:

4-punts interpolatie zonder restterm: 0.09809315548, verschil met exact: -2.0*10^-10
Restterm op basis van verschilrij: -2.0*10^-10
4-punts interpolatie + restterm/verschilrij: 0.09809315528, verschil met exact: ≈ +0*10^-10
Restterm op basis van afgeleide: -2.2*10^-10
4-punts interpolatie + restterm/afgeleide: 0.09809315526, verschil met exact: 0.2*10^-10

Geheel toevallig bereiken we hier juist met de verschilrij-restterm een iets betere interpolatie.
In dit geval geeft een 4-punts Lagrange interpolatie een nauwkeurigheid van 10 decimalen. Aanbevolen wordt om bij waarden van x die niet veel groter zijn dan 1, door te zetten tot een 5-punts interpolatie.
Dat is zo'n gedoe, dat de eerder besproken methode van Perryman veel sneller tot resultaten met 10 decimalen leidt.
Of wat we tegenwoordig doen: even ons zakrekenmachientje of calculatorprogrammaatje pakken!

Hoe berekenen computers de logaritme?

log(x) = 0.86304*t + 0.36415*t³
met t = (x-1)/(x+1) en x moet liggen tussen 1/√10 en √10

De precisie is niet erg groot: hooguit 6*10^-4.

Hieronder geven we een indruk van een stuk code dat al meer dan 25 jaar geleden is ontwikkeld. De natuurlijke logaritme wordt met bijna 32 decimalen nauwkeurig berekend. Dat gebeurt met behulp van een zogeheten Chebyshev polynoom. In dit geval wordt een tiendegraads polynoom toegepast, dat op een speciale manier moet worden berekend om afrondingsfouten zo veel mogelijk te vermijden. Wij hebben in onderstaande code enkele administratieve details weggelaten. Die zijn nodig om ervoor te zorgen dat de compiler in kwestie het maximum kan halen uit wat er op uw machine mogelijk is. Neem dus niet onderstaande code over, maar gebruik de originele code of een vergelijkbare 'echte' routine, bijvoorbeeld uit de Cephes bibliotheek die bovendien moderner is.

-- Functie DLOG = ln(X), double precision Fortran
-- Gewogen fout in de uitkomst: hooguit 4.15*10-32
-- SLATEC Fortran bibliotheek.
-- Zie Netlib / SLATEC / special functions
-- Auteur van deze routine: W. Fullerton, C-3,
-- Los Alamos Scientific Laboratory
-- Onderstaande is geen Fortran, maar onze eigen vertaling
-- van de essentie van de routine.
  
-- Vullen van wat constanten.
ALNCS(1) = 1.3347199877973881561689386047187
ALNCS(2) = 0.69375628328411286281372438354225*0.001
ALNCS(3) = 0.42934039020450834506559210803662*0.000001
ALNCS(4) = 0.28933847795432594580466440387587*10^-9
ALNCS(5) = 0.20512517530340580901741813447726*10^-12
ALNCS(6) = 0.15039717055497386574615153319999*10^-15
ALNCS(7) = 0.11294540695636464284521613333333*10^-18
ALNCS(8) = 0.86355788671171868881946666666666*10^-22
ALNCS(9) = 0.66952990534350370613333333333333*10^-25
ALNCS(10) = 0.52491557448151466666666666666666*10^-28
ALNCS(11) = 0.41530540680362666666666666666666*10^-31
CENTER(1) = 1.0
CENTER(2) = 1.25
CENTER(3) = 1.50
CENTER(4) = 1.75
ALNCEN(1) = 0.0
ALNCEN(2) = 0.22314355131420975576629509030983
ALNCEN(3) = 0.40546510810816438197801311546434
ALNCEN(4) = 0.55961578793542268627088850052682
ALNCEN(5) = 0.69314718055994530941723212145817
ALN2 = 0.06814718055994530941723212145818 -- dit is ln(2)-0.625

-- Hier zou moeten worden bepaald hoe veel
-- termen NTERMS van ALNCS moeten worden meegenomen
-- in de berekening. Wij nemen gewoon alle 11.
-- Vervolgens wordt X gereduceerd.

N = 0
ABSX = abs(X)
if ABSX >= 0.5 and ABSX < 1 then Y = X
if ABSX > 1 then
  repeat while ABSX >= 1
    N = N+1
    ABSX = 0.5*ABSX
  end repeat
end if
if ABSX < 0.5 then
  repeat while ABSX < 0.5
    N = N-1
    ABSX = 2*ABSX
  end repeat
end if
Y = ABSX
-- Eigenlijk Y = sign(X)*ABSX, maar X moet toch altijd > 0 zijn.

-- Verdere reductie van X
XN = N-1
Y = 2*Y
NTRVAL = trunc(4*Y-2.5) -- of int() of floor()
if NTRVAL = 5 then
  T = ((Y-1.0)-1.0)/(Y+2.0)
end if
if NTRVAL < 5 then
  T = (Y-CENTER(NTRVAL)) / (Y+CENTER(NTRVAL))
end if
T2 = T*T
  
--Chebyshev polynoom uitrekenen
NTERMS = 11
FX = 578.0*T2-1.0
B1 = 0
B0 = 0
TWX = 2*FX
repeat with i=1 to NTERMS
  B2 = B1
  B1 = B0
  NI = NTERMS+1-i
  B0 = TWX*B1-B2+ALNCS(NI)
end repeat
DCSEVL = 0.5*(B0-B2)

DLOG = ALN2*XN + ALNCEN(NTRVAL) + 2.0*T + T*T2*DCSEVL + 0.625*XN
-- DLOG is de uitkomst, ln(X)

 
Wat te doen als de precisie nog groter moet zijn, bijvoorbeeld twintigduizend decimalen?
Ook dan staan er verscheidene mogelijkheden open. Er kan gebruik worden gemaakt van de Taylor reeksontwikkeling van ln(1+x):

ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + ...

Deze reeks convergeert alleen als x kleiner is dan 1. Dat betekent dat x eerst moet worden gereduceerd en dat gebeurt door een paar keer de wortel te trekken, immers:
ln(x)=2^k*ln(x^2-k).

Worteltrekken met willekeurige precisie kan in principe gebeuren op de manier die vergelijkbaar is met het trekken van een wortel met de hand, met een soort staartdelingsmethode. Aangezien de Taylor-reeks voor ln(1+x) erg traag convergeert, zijn er enkele modificaties bedacht zodat er minder termen hoeven te worden berekend. Het leuke van deze reeks is dat we weten dat de afbreekfout ten hoogste gelijk is aan de waarde van de laatst berekende term.
Helemaal aan het begin van dit verhaal staat een voorbeeld van een logaritme in meer dan 250 decimalen nauwkeurig, uitgerekend met een modern computerprogramma.

© Oscar van Vlijmen, mei 2003/May 2003
Datum laatste wijziging: 2007-02-20

Ga naar start/Home