Riemann Zeta - Jan van Delden

ζ	Riemann Zeta Roots

Geen Java beschikbaar, zet het aan (Internet-opties) of download een plugin.

Riemann heeft het vermoeden uitgesproken dat alle niet-triviale nulpunten van de zogenaamde Riemann-Zeta functie alle liggen op de lijn Re(z)=½ (in het complexe vlak). Dit is een van de zogenaamde Hilbert problemen, die door Hilbert rond 1900 zijn geformuleerd. Het is een van de beroemdste problemen binnen de wiskunde.

Met deze applet valt het vermoeden te controleren tot en met z=½+6000000I (ongeveer). Als je mee wilt zoeken naar een nulpunt dat niet op bovengenoemde lijn ligt (het vermoeden is niet waar) dan kun je je aanmelden bij: Zeta Grid.

Het linkerbovenvenster tekent beide delen van ζ(½+I.t). Langs de verticale as het imaginarie deel en langs de horizontale as het reële deel. Een nulpunt komt overeen met de oorsprong in de venster.

In het rechterbovenvenster kun je aangeven of de berekende meetwaarden verbonden moeten worden met een vloeiende lijn (Trace). De snelheid waarmee gerekend wordt kan hier ook ingesteld worden. Verder kan de berekening gestart worden vanaf een zekere t, dan wel vanaf een zogenaamd Gram punt, middels de knop rechtsboven.

Het linkerondervenster tekent de grafieken (verticale as) van:

Reëel deel ζ(½+I.t)

Imaginair deel ζ(½+I.t)

Riemann Siegel Z(t), |Z(t)|=|ζ(½+I.t)|

Gram punten uitgezet tegen t (horizontale as).

Gram punten kunnen op eenvoudige wijze berekend worden. Tussen twee Gram punten zit (vaak) een nulpunt van ζ(½+I.t).

In het rechterondervenster kun je aangeven welke grafiek getekend moet worden. Tevens geeft het een aantal kentallen weer.

Het tabblad "Distribution/Statistics" geeft additionele kentallen en de verdeling van de afstanden tussen de nulpunten. Het vermoeden bestaat dat deze verdeling in de limiet nadert tot de verdeling van de eigenwaarden van zogenaamde Random Matrices van een bepaald type (GUE) Het tabblad About bevat aanvullende uitleg (in Engels), voornamelijk over onderliggende rekenprocedure.

Literatuur

Riemann's Zeta Function H.M. Edwards Dover

Numerical evaluation of the Riemann Zeta function Xavier Gourdon, Pascal Sebah 23 juli 2003

The 10¹³ zeros of the Riemann zeta function, and zeros computation at very large height Xavier Gourdon 24 okt 2004

Riemann's Zeta Function	H.M. Edwards	Dover
Numerical evaluation of the Riemann Zeta function	Xavier Gourdon, Pascal Sebah	23 juli 2003
The 10¹³ zeros of the Riemann zeta function, and zeros computation at very large height	Xavier Gourdon	24 okt 2004

Riemann Zeta Roots

Geen Java beschikbaar, zet het aan (Internet-opties) of download een plugin.